Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.
II - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 4 vetores.
III - Todo conjunto gerador de V possui no mínimo 4 vetores.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial com \dim(V)=4 e pede para analisar três afirmações sobre conjuntos linearmente independentes (LI) e conjuntos geradores em V. Vamos usar as propriedades básicas de dimensão, independência e geração em espaços vetoriais finito-dimensionais.

Passo 2

Em todo espaço vetorial de dimensão n vale que qualquer subconjunto LI com exatamente n vetores é automaticamente uma base, porque basta ter independência e o número certo de vetores para gerar todo o espaço. Além disso, o tamanho máximo de um conjunto LI é n e o tamanho mínimo de um conjunto gerador também é n.

Passo 3

Analisando I: “Nem todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.”
Como \dim(V)=4, qualquer conjunto com 4 vetores que seja LI já gera todo V. Logo, todo conjunto LI de 4 vetores é base, e a afirmação I é falsa.

Passo 4

Analisando II: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 4 vetores.”
Num espaço de dimensão 4 não existem conjuntos LI com mais de 4 vetores, pois isso violaria a definição de dimensão. Portanto, II é verdadeira.

Passo 5

Analisando III: “Todo conjunto gerador de V possui no mínimo 4 vetores.”
Qualquer conjunto que gere V não pode ter menos de 4 vetores, senão faltaria “grau de liberdade” para alcançar dimensão 4. Assim, III também é verdadeira.

Resposta

(A) Apenas II e III são verdadeiras.

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