Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nem todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.
II - Todo subconjunto LI de
possui no máximo 4 vetores.
III - Todo conjunto gerador de
possui no mínimo 4 vetores.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - Nem todo subconjunto LI de
II - Todo subconjunto LI de
III - Todo conjunto gerador de
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com
e pede para analisar três afirmações sobre conjuntos linearmente independentes (LI) e conjuntos geradores em
. Vamos usar as propriedades básicas de dimensão, independência e geração em espaços vetoriais finito-dimensionais.
Passo 2
Em todo espaço vetorial de dimensão
vale que qualquer subconjunto LI com exatamente
vetores é automaticamente uma base, porque basta ter independência e o número certo de vetores para gerar todo o espaço. Além disso, o tamanho máximo de um conjunto LI é
e o tamanho mínimo de um conjunto gerador também é
.
Passo 3
Analisando I: “Nem todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.”
Como , qualquer conjunto com 4 vetores que seja LI já gera todo
. Logo, todo conjunto LI de 4 vetores é base, e a afirmação I é falsa.
Como
Passo 4
Analisando II: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 4 vetores.”
Num espaço de dimensão 4 não existem conjuntos LI com mais de 4 vetores, pois isso violaria a definição de dimensão. Portanto, II é verdadeira.
Num espaço de dimensão 4 não existem conjuntos LI com mais de 4 vetores, pois isso violaria a definição de dimensão. Portanto, II é verdadeira.
Passo 5
Analisando III: “Todo conjunto gerador de
possui no mínimo 4 vetores.”
Qualquer conjunto que gere não pode ter menos de 4 vetores, senão faltaria “grau de liberdade” para alcançar dimensão 4. Assim, III também é verdadeira.
Qualquer conjunto que gere
Resposta
(A) Apenas II e III são verdadeiras.