Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LI de V gera V.
II - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 8 vetores.
III - Nem todo subconjunto LI de V com 8 vetores é uma base de V.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 8 e apresenta três afirmações sobre subconjuntos linearmente independentes (LI) em V. Lembrando que:
  1. Um conjunto gera V se seu fecho linear é todo V.
  2. A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V.
  3. Uma base de V é um conjunto LI que gera V.

Passo 2

Analisando a afirmação I: “Todo subconjunto LI de V gera V.”
Isso seria verdade apenas se todo LI tivesse exatamente 8 vetores, mas podemos ter LI com menos de 8 vetores que não geram todo V. Portanto, I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 8 vetores.”
Pela definição de dimensão, não existe conjunto LI com mais vetores do que a dimensão do espaço. Logo, qualquer conjunto LI em V tem no máximo 8 vetores. Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de V com 8 vetores é uma base de V.”
Se um conjunto tem 8 vetores em V e é LI, então tem o mesmo número de vetores que a dimensão de V, o que força que ele gere V. Assim, todo LI com 8 vetores é de fato uma base. Logo, a afirmação III é falsa.

Resposta

(B)

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