Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LI de
gera
.
II - Todo subconjunto LI de
possui no máximo 8 vetores.
III - Nem todo subconjunto LI de
com 8 vetores é uma base de
.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
I - Todo subconjunto LI de
II - Todo subconjunto LI de
III - Nem todo subconjunto LI de
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e apresenta três afirmações sobre subconjuntos linearmente independentes (LI) em
. Lembrando que:
- Um conjunto gera
se seu fecho linear é todo . - A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de . - Uma base de
é um conjunto LI que gera .
Passo 2
Analisando a afirmação I: “Todo subconjunto LI de
gera
.”
Isso seria verdade apenas se todo LI tivesse exatamente 8 vetores, mas podemos ter LI com menos de 8 vetores que não geram todo . Portanto, I é falsa.
Isso seria verdade apenas se todo LI tivesse exatamente 8 vetores, mas podemos ter LI com menos de 8 vetores que não geram todo
Passo 3
Analisando a afirmação II: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 8 vetores.”
Pela definição de dimensão, não existe conjunto LI com mais vetores do que a dimensão do espaço. Logo, qualquer conjunto LI em tem no máximo
vetores. Portanto, II é verdadeira.
Pela definição de dimensão, não existe conjunto LI com mais vetores do que a dimensão do espaço. Logo, qualquer conjunto LI em
Passo 4
Analisando a afirmação III: “Nem todo subconjunto LI de
com 8 vetores é uma base de
.”
Se um conjunto tem 8 vetores em e é LI, então tem o mesmo número de vetores que a dimensão de
, o que força que ele gere
. Assim, todo LI com 8 vetores é de fato uma base. Logo, a afirmação III é falsa.
Se um conjunto tem 8 vetores em
Resposta
(B)