Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.
II - Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é LI.
III - Todo subconjunto LI de V possui no máximo 5 vetores.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço vetorial V de dimensão \dim(V)=5 e apresenta três afirmativas sobre bases, conjuntos geradores e independência linear. O conteúdo aqui é o Teorema da Dimensão, que diz, entre outras coisas, que em um espaço de dimensão n:
  1. Qualquer conjunto gerador com n vetores é base (pois não pode haver redundância).
  2. Qualquer conjunto independente com n vetores é base (pois não cabe mais vetores independentes).
  3. Todo conjunto independente tem tamanho no máximo n.
    Vamos verificar cada afirmativa usando essas ideias.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Todo conjunto gerador de V com 5 vetores é uma base de V.”
Pelo Teorema da Dimensão, em um espaço de dimensão n qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é também linearmente independente, logo é base. Como aqui n=5, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Existe um conjunto gerador de V com 5 vetores que é LI.”
Uma base de V é, por definição, um conjunto gerador que é linearmente independente e tem exatamente \dim(V)=5 vetores. Assim, basta escolher qualquer base para ver que tal conjunto existe. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 5 vetores.”
Também pelo Teorema da Dimensão, em um espaço de dimensão n não existe conjunto independente com mais de n vetores. Como \dim(V)=5, qualquer conjunto LI de V tem no máximo 5 vetores. Logo, III é verdadeira.

Resposta

(H) Todas são verdadeiras.

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