Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 5. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo conjunto gerador de
com 5 vetores é uma base de
.
II - Existe um conjunto gerador de
com 5 vetores que é LI.
III - Todo subconjunto LI de
possui no máximo 5 vetores.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - Todo conjunto gerador de
II - Existe um conjunto gerador de
III - Todo subconjunto LI de
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado trata de um espaço vetorial
de dimensão
e apresenta três afirmativas sobre bases, conjuntos geradores e independência linear. O conteúdo aqui é o Teorema da Dimensão, que diz, entre outras coisas, que em um espaço de dimensão
:
- Qualquer conjunto gerador com
vetores é base (pois não pode haver redundância). - Qualquer conjunto independente com
vetores é base (pois não cabe mais vetores independentes). - Todo conjunto independente tem tamanho no máximo
.
Vamos verificar cada afirmativa usando essas ideias.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Todo conjunto gerador de
com 5 vetores é uma base de
.”
Pelo Teorema da Dimensão, em um espaço de dimensão qualquer conjunto gerador com exatamente
vetores é também linearmente independente, logo é base. Como aqui
, I é verdadeira.
Pelo Teorema da Dimensão, em um espaço de dimensão
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Existe um conjunto gerador de
com 5 vetores que é LI.”
Uma base de é, por definição, um conjunto gerador que é linearmente independente e tem exatamente
vetores. Assim, basta escolher qualquer base para ver que tal conjunto existe. Logo, II é verdadeira.
Uma base de
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 5 vetores.”
Também pelo Teorema da Dimensão, em um espaço de dimensão não existe conjunto independente com mais de
vetores. Como
, qualquer conjunto LI de
tem no máximo 5 vetores. Logo, III é verdadeira.
Também pelo Teorema da Dimensão, em um espaço de dimensão
Resposta
(H) Todas são verdadeiras.