Q15: Seja p(x)=6+22 x-6 x^2 e beta=-1-3 x+2 x^2, 1+6 x+x^2, -2-7 x+x^2 uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]beta=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base beta, calcule o valor de c.
(A) -4
(B) -2
(C) 4
(D) 3
(E) -3
(F) 2
(G) -1
(H) 1
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a coordenada c do polinômio
p(x)=6+22x-6x^2
na base beta=,beta1,beta2,beta3 de P2, onde
beta1(x)=-1-3x+2x^2, beta2(x)=1+6x+x^2, beta3(x)=-2-7x+x^2
O conteúdo envolvido é representação de vetores (polinômios) em uma base, que se faz escrevendo p como combinação linear de beta1,beta2,beta3 e igualando coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos coeficientes:
a,beta1(x)+b,beta2(x)+c,beta3(x) = a(-1-3x+2x^2)+b(1+6x+x^2)+c(-2-7x+x^2) = 6+22x-6x^2
Igualando coeficientes de 1, x e x^2, obtemos o sistema
-a + b - 2c = 6
-3a +6b -7c = 22
2a + b + c = -6

Passo 3

Da primeira equação isolamos b:
b = 6 + a + 2c
Substituindo em -3a +6b -7c =22 e em 2a + b + c = -6
-3a +6(6+a+2c)-7c =22Longrightarrow 3a+5c=-14,
2a + (6+a+2c)+c = -6Longrightarrow 3a+3c=-12

Passo 4

Da segunda tiramos a+c=-4. Como a+c=-4, substituindo em 3a+5c=-14 temos
3(-4-c)+5c=-14 Longrightarrow -12 -3c +5c = -14 Longrightarrow 2c = -2 Longrightarrow c = -1

Resposta

(G)

Exercícios relacionados