Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=4 x^{2}-3 x+3 na reta gerada por
q(x)=2 x-4.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}-3 x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-4 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{26}{7}-\frac{13 x}{7}
(B) \frac{25}{7}-\frac{25 x}{14}
(C) -4 x^{2}+3 x-3
(D) \frac{27}{7}-\frac{27 x}{14}
(E) -\frac{27 x^{2}}{7}+\frac{81 x}{28}-\frac{81}{28}
(F) 4-2 x
(G) -\frac{26 x^{2}}{7}+\frac{39 x}{14}-\frac{39}{14}
(H) -\frac{25 x^{2}}{7}+\frac{75 x}{28}-\frac{75}{28}

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a projeção ortogonal:
  • Produto interno em \mathcal{P}_{2} dado por \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • Polinômio que queremos projetar: p(x)=4x^{2}-3x+3.
  • Geradora da reta onde projetamos: q(x)=2x-4.
Pergunta pedida: determinar a projeção ortogonal de p na reta gerada por q (ou seja, o polinômio da forma c\,q(x) que é a projeção de p).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a projeção ortogonal de um vetor p numa reta gerada por q em um espaço com produto interno é o múltiplo escalar de q que deixa o erro p - c q ortogonal a q. Ou seja, escolhemos c tal que
\langle p - c q,\, q\rangle = 0.
Dessa igualdade obtemos
\langle p,q\rangle - c\,\langle q,q\rangle = 0 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Portanto a projeção é
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\; q.
Breve interpretação: \langle p,q\rangle é uma espécie de “produto” que mede quanto p e q estão alinhados no intervalo [0,1]; \langle q,q\rangle é o quadrado da norma de q. A razão dá o escalar que melhor aproxima p por um múltiplo de q.

Passo 3

Calculamos \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx. Primeiro expandimos o produto:
(4x^{2}-3x+3)(2x-4)=8x^{3}-22x^{2}+18x-12.
Agora integramos termo a termo em [0,1]:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} (8x^{3}-22x^{2}+18x-12)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1}8x^{3}\,dx = 8\cdot\frac{1}{4}=2,
\int_{0}^{1}-22x^{2}\,dx = -22\cdot\frac{1}{3}=-\frac{22}{3},
\int_{0}^{1}18x\,dx = 18\cdot\frac{1}{2}=9,
\int_{0}^{1}-12\,dx = -12.
Somando:
\langle p,q\rangle = 2 -\frac{22}{3} + 9 - 12.
Agrupando 2+9-12=-1, obtemos
\langle p,q\rangle = -1 -\frac{22}{3} = -\frac{3}{3}-\frac{22}{3} = -\frac{25}{3}.

Passo 4

Calculamos \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (2x-4)^{2}\,dx. Expandindo:
(2x-4)^{2}=4x^{2}-16x+16.
Integramos termo a termo:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (4x^{2}-16x+16)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx = 4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}-16x\,dx = -16\cdot\frac{1}{2}=-8,
\int_{0}^{1}16\,dx = 16.
Somando:
\langle q,q\rangle = \frac{4}{3} -8 +16 = \frac{4}{3} +8 = \frac{4+24}{3} = \frac{28}{3}.

Passo 5

Agora a constante c vale
c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} = \frac{-\frac{25}{3}}{\frac{28}{3}} = -\frac{25}{28}.
Portanto a projeção é
\text{proj}_{\langle q\rangle} p = c\,q(x) = -\frac{25}{28}(2x-4).
Multiplicando e simplificando:
-\frac{25}{28}\cdot 2x = -\frac{50}{28}x = -\frac{25}{14}x,
-\frac{25}{28}\cdot(-4) = \frac{100}{28} = \frac{25}{7}.
Logo
\text{proj}_{\langle q\rangle} p(x)=\frac{25}{7}-\frac{25}{14}x.

Passo 6

Resumo intuitivo rápido: a melhor aproximação de p(x) por um múltiplo de q(x) (no sentido do erro quadrático no intervalo [0,1]) é exatamente essa projeção. Dica prática: se você plotar p(x) e k\,q(x) variando k, o valor de k que minimiza a área do quadrado do erro será k=-\tfrac{25}{28}, e o gráfico de kq(x) com esse k coincide com a projeção que encontramos. Vai dar tudo certo na prova — respira, lê devagar e aplica essa receita!

Resposta

\displaystyle \frac{25}{7}-\frac{25 x}{14} \
(B)

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