Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede a projeção ortogonal:
- Produto interno em
dado por . - Polinômio que queremos projetar:
. - Geradora da reta onde projetamos:
.
Pergunta pedida: determinar a projeção ortogonal de
na reta gerada por
(ou seja, o polinômio da forma
que é a projeção de
).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a projeção ortogonal de um vetor
numa reta gerada por
em um espaço com produto interno é o múltiplo escalar de
que deixa o erro
ortogonal a
. Ou seja, escolhemos
tal que
Dessa igualdade obtemos
Portanto a projeção é
Breve interpretação:
é uma espécie de “produto” que mede quanto
e
estão alinhados no intervalo
;
é o quadrado da norma de
. A razão dá o escalar que melhor aproxima
por um múltiplo de
.
Passo 3
Calculamos
. Primeiro expandimos o produto:
Agora integramos termo a termo em
:
Calcule cada integral:
Somando:
Agrupando
, obtemos
Passo 4
Calculamos
. Expandindo:
Integramos termo a termo:
Calcule cada integral:
Somando:
Passo 5
Agora a constante
vale
Portanto a projeção é
Multiplicando e simplificando:
Logo
Passo 6
Resumo intuitivo rápido: a melhor aproximação de
por um múltiplo de
(no sentido do erro quadrático no intervalo
) é exatamente essa projeção. Dica prática: se você plotar
e
variando
, o valor de
que minimiza a área do quadrado do erro será
, e o gráfico de
com esse
coincide com a projeção que encontramos. Vai dar tudo certo na prova — respira, lê devagar e aplica essa receita!
Resposta
(B)