Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -3 46.7
-2 4 -8.1
-1 -5 26.7
0 -1 2.5
1 5 -22.6
2 2 1.6
3 1 29.1
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 149.0
(B) 150.0
(C) 151.0
(D) 152.0
(E) 153.0
(F) 154.0
(G) 155.0
(H) 156.0

Passo 1

O enunciado pede: ajustar os parâmetros a,b,c do modelo Z=a x^{2}+b y+c pelos mínimos quadrados usando os 7 pontos fornecidos e, com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z em (x,y)=(7,7). Os dados fornecidos são (peguei-os da tabela do enunciado):
  • (x,y,Z)=(-3,-3,46{,}7)
  • (x,y,Z)=(-2,4,-8{,}1)
  • (x,y,Z)=(-1,-5,26{,}7)
  • (x,y,Z)=(0,-1,2{,}5)
  • (x,y,Z)=(1,5,-22{,}6)
  • (x,y,Z)=(2,2,1{,}6)
  • (x,y,Z)=(3,1,29{,}1)
O que se pede explicitamente:
  1. Encontrar a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos entre o modelo e os dados.
  2. Calcular Z(7,7)=a\cdot 7^{2}+b\cdot 7+c.
    O resultado deverá ser comparado com as opções (A)–(H).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática dos mínimos quadrados, sem pular etapas):
  • Mesmo que o modelo dependa de x^{2}, ele é linear nos parâmetros a,b,c. Isso permite usar regressão linear.
  • Escrevemos o modelo para cada ponto i como
Z_i = a\,u_i + b\,v_i + c\cdot 1,
onde escolhemos u_i = x_i^{2} e v_i = y_i. Em forma matricial, A\mathbf{p}=\mathbf{z}, com \mathbf{p}=(a,b,c)^{T}.
  • O critério dos mínimos quadrados minimiza S(\mathbf{p})=\sum_{i}(Z_i - (a u_i + b v_i + c))^2. A condição de mínimo leva às equações normais:
A^{T}A\,\mathbf{p}=A^{T}\mathbf{z}.
  • Então construímos A^{T}A (matriz 3\times3) e A^{T}\mathbf{z} (vetor 3\times1), e resolvemos o sistema linear para \mathbf{p}=(a,b,c)^{T}.
    Isto é suficiente para aplicar o método na prova: montar somas das combinações dos regressores e resolver as normais.

Passo 3

Montagem dos regressores e cálculos das somas (vou calcular passo a passo as somas que aparecem em A^{T}A e em A^{T}\mathbf{z}).
Primeiro os regressores por ponto ( u=x^{2}, v=y):
  • Para (x,y)=(-3,-3): u=9,\;v=-3,\;Z=46{,}7.
  • Para (x,y)=(-2,4): u=4,\;v=4,\;Z=-8{,}1.
  • Para (x,y)=(-1,-5): u=1,\;v=-5,\;Z=26{,}7.
  • Para (x,y)=(0,-1): u=0,\;v=-1,\;Z=2{,}5.
  • Para (x,y)=(1,5): u=1,\;v=5,\;Z=-22{,}6.
  • Para (x,y)=(2,2): u=4,\;v=2,\;Z=1{,}6.
  • Para (x,y)=(3,1): u=9,\;v=1,\;Z=29{,}1.
Agora as somas necessárias (cada soma é feita somando os valores ponto a ponto):
  • n=7 (número de pontos).
  • \displaystyle \sum u = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • \displaystyle \sum v = -3+4-5-1+5+2+1 = 3.
  • \displaystyle \sum u^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 196.
  • \displaystyle \sum v^{2} = (-3)^{2}+4^{2}+(-5)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}+2^{2}+1^{2} = 81.
  • \displaystyle \sum u v = 9(-3)+4(4)+1(-5)+0(-1)+1(5)+4(2)+9(1) = 6.
  • \displaystyle \sum Z = 46{,}7-8{,}1+26{,}7+2{,}5-22{,}6+1{,}6+29{,}1 = 75{,}9.
  • \displaystyle \sum uZ = 9(46{,}7)+4(-8{,}1)+1(26{,}7)+0(2{,}5)+1(-22{,}6)+4(1{,}6)+9(29{,}1)=660{,}3.
  • \displaystyle \sum vZ = (-3)(46{,}7)+4(-8{,}1)+(-5)(26{,}7)+(-1)(2{,}5)+5(-22{,}6)+2(1{,}6)+1(29{,}1)=-389{,}2.
(Se quiser checar na prova, faça cada multiplicação e some como aqui — são operações simples.)

Passo 4

Escrever explicitamente as equações normais. A matriz A^{T}A e o vetor A^{T}\mathbf{z} ficam:
A^{T}A= \begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum u v & \sum u \\\ \sum u v & \sum v^{2} & \sum v \\\ \sum u & \sum v & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 6 & 28 \\\\ 6 & 81 & 3 \\\\ 28 & 3 & 7 \end{pmatrix},
A^{T}\mathbf{z}= \begin{pmatrix} \sum uZ \\[4pt] \sum vZ \\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 660{,}3 \\[4pt] -389{,}2 \\[4pt] 75{,}9 \end{pmatrix}.
As normais são então
\begin{pmatrix} 196 & 6 & 28 \\\\ 6 & 81 & 3 \\\\ 28 & 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}660{,}3\\\\ -389{,}2\\\\ 75{,}9\end{pmatrix}.
A partir daqui resolvemos o sistema linear para a,b,c.]

Passo 5

Resolver o sistema por eliminação (passo a passo):
Começo eliminando a das equações 2 e 3 usando a primeira. Faz-se
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \frac{6}{196}\text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \frac{28}{196}\text{R}_1.
Calculando os coeficientes resultantes obtemos o sistema reduzido (após as operações):
Equação 2 reduzida:
0\cdot a + \frac{3960}{49}\,b + \frac{15}{7}\,c = -\frac{80245}{196}.
Equação 3 reduzida:
0\cdot a + \frac{15}{7}\,b + 3\,c = -\frac{129}{7}.
(As frações acima vêm da eliminação exata — isto é útil porque evita perda de precisão.)
Agora temos um sistema 2\times2 para b e c:
\begin{pmatrix}\dfrac{3960}{49} & \dfrac{15}{7}\\[6pt] \dfrac{15}{7} & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{80245}{196}\\[6pt]-\dfrac{129}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Resolver o 2\times2 por regra de Cramer (mostrando o cálculo das determinantes de forma didática):
Determinante do sistema pequeno:
\Delta = \frac{3960}{49}\cdot 3 - \left(\frac{15}{7}\right)^{2} = \frac{11655}{49}.
Determinante para b:
\Delta_b = \left(-\frac{80245}{196}\right)\cdot 3 - \frac{15}{7}\left(-\frac{129}{7}\right) = -\frac{232995}{196}.
Logo
b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-\dfrac{232995}{196}}{\dfrac{11655}{49}} = -\frac{15533}{3108}\approx -4{,}997754.
Determinante para c:
\Delta_c = \frac{3960}{49}\left(-\frac{129}{7}\right) - \left(-\frac{80245}{196}\right)\frac{15}{7} = -\frac{839685}{1372}.
Logo
c = \frac{\Delta_c}{\Delta} = \frac{-\dfrac{839685}{1372}}{\dfrac{11655}{49}} = -\frac{7997}{3108}\approx -2{,}572935.
(Se estiver na prova sem calculadora, pode manter frações exatas até o fim ou usar uma calculadora/planilha para obter as aproximações.)

Passo 7

Determinar a substituindo b e c numa das equações originais; uso a primeira equação:
196a + 6b + 28c = 660{,}3.
Substituindo b=-\dfrac{15533}{3108} e c=-\dfrac{7997}{3108}, resolve-se
196a = 660{,}3 - 6b - 28c
que, depois de manipular as frações, dá
a=\frac{1480829}{380730}\approx 3{,}8894468.
Portanto, os parâmetros ajustados são (aproximações decimais):
a\approx 3{,}8894468,\qquad b\approx -4{,}997754,\qquad c\approx -2{,}572935.

Passo 8

Calcular Z previsto em (x,y)=(7,7):
Z(7,7)=a\cdot 7^{2}+b\cdot 7 + c = a\cdot 49 + 7b + c.
Substituindo os valores aproximados:
a\cdot 49 \approx 3{,}8894468\times 49 \approx 190{,}5828932,
7b \approx 7\times(-4{,}997754) \approx -34{,}984278,
c \approx -2{,}572935.
Somando:
Z(7,7)\approx 190{,}5828932 -34{,}984278 -2{,}572935 \approx 153{,}0256802.
Arredondando na precisão das opções fornecidas, isso corresponde a 153{,}0.

Passo 9

Interpretação final: entre as alternativas oferecidas, o valor que melhor se encaixa no resultado do ajuste é 153{,}0, que corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) 153{,}0

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