Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=4 z+4\right\} não é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III - O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que eu diga quais são verdadeiras ou falsas:
I - \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = 4z + 4\} não é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\vec{0}, não é subespaço vetorial.
Também são dadas as alternativas de resposta: (A) até (H). Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o que foi pedido e listamos as três afirmações.

Passo 2

Primeiro, lembro (com calma) o que significa ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^n. Um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfaça três condições equivalentes (uso a forma mais prática):
  1. W contém o vetor zero: \vec{0}\in W.
  2. W é fechado sob soma: se \vec{u},\vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \vec{u}\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda\vec{u}\in W.
Na prática, para mostrar que um conjunto NÃO é subespaço muitas vezes basta verificar que o vetor zero não pertence ou que não há fechamento por escalares/soma. Para mostrar que algo é subespaço, uma maneira padrão é provar fechamento por soma e por escalares e que \vec{0}\in W.
Vou usar essas ideias passo a passo nas três afirmativas.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
O conjunto é
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = 4z + 4\}.
Teste rápido: o vetor zero é \vec{0}=(0,0,0). Para que \vec{0}\in S precisaríamos ter 0 = 4\cdot 0 + 4, ou seja 0=4, o que é falso. Logo \vec{0}\notin S. Pelo item 1 da definição de subespaço, se o zero não está no conjunto então o conjunto não pode ser subespaço vetorial.
Conclusão deste passo: a afirmativa I diz que esse conjunto “não é subespaço vetorial”. Como acabamos de mostrar \vec{0}\notin S, a afirmativa I é verdadeira.
Observação concreta (para fixar): por exemplo (4,0,0)\in S (tomando z=0,x=4), mas metade desse vetor \tfrac12(4,0,0)=(2,0,0) não pertence a S porque para (2,0,0) teríamos 2=4\cdot 0 +4 que não vale. Isso mostra falha de fechamento por escalares também.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
Preciso interpretar “reflexão”. A interpretação padrão em Álgebra Linear é: reflexão através de um subespaço que passa pela origem (por exemplo reflexão em relação a um plano que contém a origem ou em relação a uma reta que passa pela origem). Nessa interpretação a reflexão é uma transformação linear R:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n. Vou justificar por que essa interpretação é natural e como ela resolve a questão.
Por que a reflexão linear? Pense assim: se você decompõe qualquer vetor \vec{v} em duas componentes \vec{v}=\vec{v}_\parallel+\vec{v}_\perp, onde \vec{v}_\parallel está no subespaço de reflexão e \vec{v}_\perp é ortogonal a ele, a reflexão age como
R(\vec{v}) = \vec{v}_\parallel - \vec{v}_\perp.
Essa operação transforma soma em soma e escalares em escalares, isto é, é linear. Posso verificar a linearidade diretamente: para quaisquer \vec{u},\vec{v} e escalar \lambda,
R(\vec{u}+\vec{v}) = R(\vec{u}) + R(\vec{v}),\qquad R(\lambda\vec{u})=\lambda R(\vec{u}).
(Quem quiser pode ver uma prova escrevendo as componentes \parallel e \perp e usando distributividade; eu não inventei nada estranho aqui — é a definição usual.)
Agora um fato fundamental de teoria linear que vou usar (e provar rapidinho): a imagem (também chamada de imagem linear ou alcance) de uma transformação linear é sempre um subespaço. Prova curta: se T:V\to W é linear e y_1=T(x_1), y_2=T(x_2) são elementos da imagem, então para qualquer \alpha,\beta\in\mathbb{R}
\alpha y_1 + \beta y_2 = \alpha T(x_1) + \beta T(x_2) = T(\alpha x_1 + \beta x_2),
que está novamente na imagem. Assim a imagem é fechada sob combinações lineares; em particular contém \vec{0} e é um subespaço.
Aplicando isso à reflexão linear R: como R é linear, sua imagem \operatorname{Im}(R) é subespaço vetorial. (Além disso, uma reflexão linear é invertível — seu inverso é ela mesma — logo sua imagem é todo \mathbb{R}^n, que é obviamente um subespaço; mas nem precisava desse detalhe.)
Conclusão deste passo: sob a interpretação usual de reflexão como transformação linear em relação a um subespaço que passa pela origem, a afirmativa II (“A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial”) é verdadeira.
Nota sobre ambiguidade: se alguém interpretasse “reflexão” como uma reflexão em relação a uma reta/plano que não passa pela origem (ou seja, uma reflexão afim), essa transformação NÃO seria linear e aí a afirmação poderia falhar dependendo do caso. Mas, em contexto de Álgebra Linear em provas, “reflexão” normalmente significa a reflexão linear (subespaço passando pela origem). Por isso adotei essa interpretação — é a mais básica e adequada para a disciplina.

Passo 5

Prova auxiliar — por extenso, porque ajuda na prova e é útil para a prova: demonstrar que a imagem de qualquer transformação linear T é subespaço.
Seja T:V\to W linear. Defina \operatorname{Im}(T)=\{T(x)\mid x\in V\}.
  • Mostramos \vec{0}\in\operatorname{Im}(T) porque T(\vec{0})=\vec{0}.
  • Se y_1,y_2\in\operatorname{Im}(T), existem x_1,x_2 tais que y_1=T(x_1) e y_2=T(x_2). Então y_1+y_2=T(x_1)+T(x_2)=T(x_1+x_2)\in\operatorname{Im}(T).
  • Para \alpha\in\mathbb{R}, \alpha y_1 = \alpha T(x_1) = T(\alpha x_1)\in\operatorname{Im}(T).
    Assim \operatorname{Im}(T) satisfaz fechamento por soma e escalares e contém \vec{0}; portanto é subespaço.
Esse argumento foi usado no passo anterior aplicado a uma reflexão linear.

Passo 6

Análise da afirmativa III.
Considere o sistema A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b}\neq\vec{0}. Existem duas possibilidades:
  1. O sistema é inconsistente (não tem solução). Então o conjunto solução é o conjunto vazio \varnothing. O conjunto vazio não pode ser subespaço porque um subespaço precisa conter \vec{0} e \varnothing não contém nenhum vetor. Logo, não é subespaço.
  2. O sistema é consistente (tem pelo menos uma solução). Seja \vec{x}_p uma solução particular, isto é A\vec{x}_p=\vec{b}. A teoria dos sistemas lineares nos diz que o conjunto de todas as soluções é
S = \{\vec{x}_p + \vec{h} \mid \vec{h}\in\operatorname{Null}(A)\},
onde \operatorname{Null}(A)=\{\vec{x}\mid A\vec{x}=\vec{0}\} é o espaço de soluções do sistema homogêneo. Assim S é um conjunto do tipo “translate de um subespaço” (um subespaço somado ao vetor particular \vec{x}_p). Esse conjunto é chamado de subespaço afim. Um ponto chave: se \vec{b}\neq\vec{0} então A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}, logo \vec{0}\notin S. Como a presença do vetor zero é necessária para ser subespaço, S não é subespaço.
Portanto, tanto no caso inconsistente quanto no consistente (com \vec{b}\neq\vec{0}), o conjunto solução não é subespaço vetorial.
Conclusão deste passo: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 7

Alguns exemplos rápidos para fixar (não é resolução nova, só intuição):
  • Para I: (4,0,0)\in S mas \vec{0}\notin S. Assim S não é subespaço.
  • Para II: reflexão em \mathbb{R}^2 em relação ao eixo x tem matriz
R=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & -1\end{pmatrix},
que é linear; sua imagem é todo \mathbb{R}^2, um subespaço.
  • Para III: em \mathbb{R}^2, o sistema x=1 (matriz A=[1\\\ 0], \vec{b}=(1,0)^T) tem solução \{(1,y)\mid y\in\mathbb{R}\}, que não contém (0,0), logo não é subespaço.
Força aí — você já entendeu o método: testar presença do zero e usar estrutura de soluções. Agora eu já determinei a verdade/falsidade de cada afirmativa individualmente nos passos anteriores.]

Resposta

(H)

Exercícios relacionados