Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I -
não é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III - O conjunto solução do sistema
, onde
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I -
II - A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial
III - O conjunto solução do sistema
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que eu diga quais são verdadeiras ou falsas:
I - não é subespaço vetorial.
II - A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema , onde
, não é subespaço vetorial.
I -
II - A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial.
III - O conjunto solução do sistema
Também são dadas as alternativas de resposta:
até
. Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o que foi pedido e listamos as três afirmações.
Passo 2
Primeiro, lembro (com calma) o que significa ser subespaço vetorial de
. Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaça três condições equivalentes (uso a forma mais prática):
-
contém o vetor zero: . -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Na prática, para mostrar que um conjunto NÃO é subespaço muitas vezes basta verificar que o vetor zero não pertence ou que não há fechamento por escalares/soma. Para mostrar que algo é subespaço, uma maneira padrão é provar fechamento por soma e por escalares e que
.
Vou usar essas ideias passo a passo nas três afirmativas.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
O conjunto é
Teste rápido: o vetor zero é
. Para que
precisaríamos ter
, ou seja
, o que é falso. Logo
. Pelo item 1 da definição de subespaço, se o zero não está no conjunto então o conjunto não pode ser subespaço vetorial.
Conclusão deste passo: a afirmativa I diz que esse conjunto “não é subespaço vetorial”. Como acabamos de mostrar
, a afirmativa I é verdadeira.
Observação concreta (para fixar): por exemplo
(tomando
), mas metade desse vetor
não pertence a
porque para
teríamos
que não vale. Isso mostra falha de fechamento por escalares também.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
Preciso interpretar “reflexão”. A interpretação padrão em Álgebra Linear é: reflexão através de um subespaço que passa pela origem (por exemplo reflexão em relação a um plano que contém a origem ou em relação a uma reta que passa pela origem). Nessa interpretação a reflexão é uma transformação linear
. Vou justificar por que essa interpretação é natural e como ela resolve a questão.
Por que a reflexão linear? Pense assim: se você decompõe qualquer vetor
em duas componentes
, onde
está no subespaço de reflexão e
é ortogonal a ele, a reflexão age como
Essa operação transforma soma em soma e escalares em escalares, isto é, é linear. Posso verificar a linearidade diretamente: para quaisquer
e escalar
,
(Quem quiser pode ver uma prova escrevendo as componentes
e
e usando distributividade; eu não inventei nada estranho aqui — é a definição usual.)
Agora um fato fundamental de teoria linear que vou usar (e provar rapidinho): a imagem (também chamada de imagem linear ou alcance) de uma transformação linear é sempre um subespaço. Prova curta: se
é linear e
são elementos da imagem, então para qualquer
que está novamente na imagem. Assim a imagem é fechada sob combinações lineares; em particular contém
e é um subespaço.
Aplicando isso à reflexão linear
: como
é linear, sua imagem
é subespaço vetorial. (Além disso, uma reflexão linear é invertível — seu inverso é ela mesma — logo sua imagem é todo
, que é obviamente um subespaço; mas nem precisava desse detalhe.)
Conclusão deste passo: sob a interpretação usual de reflexão como transformação linear em relação a um subespaço que passa pela origem, a afirmativa II (“A imagem de uma reflexão é subespaço vetorial”) é verdadeira.
Nota sobre ambiguidade: se alguém interpretasse “reflexão” como uma reflexão em relação a uma reta/plano que não passa pela origem (ou seja, uma reflexão afim), essa transformação NÃO seria linear e aí a afirmação poderia falhar dependendo do caso. Mas, em contexto de Álgebra Linear em provas, “reflexão” normalmente significa a reflexão linear (subespaço passando pela origem). Por isso adotei essa interpretação — é a mais básica e adequada para a disciplina.
Passo 5
Prova auxiliar — por extenso, porque ajuda na prova e é útil para a prova: demonstrar que a imagem de qualquer transformação linear
é subespaço.
Seja
linear. Defina
.
- Mostramos
porque . - Se
, existem tais que e . Então . - Para
, .
Assimsatisfaz fechamento por soma e escalares e contém ; portanto é subespaço.
Esse argumento foi usado no passo anterior aplicado a uma reflexão linear.
Passo 6
Análise da afirmativa III.
Considere o sistema
com
. Existem duas possibilidades:
-
O sistema é inconsistente (não tem solução). Então o conjunto solução é o conjunto vazio
. O conjunto vazio não pode ser subespaço porque um subespaço precisa conter e não contém nenhum vetor. Logo, não é subespaço. -
O sistema é consistente (tem pelo menos uma solução). Seja
uma solução particular, isto é . A teoria dos sistemas lineares nos diz que o conjunto de todas as soluções é
onde
é o espaço de soluções do sistema homogêneo. Assim
é um conjunto do tipo “translate de um subespaço” (um subespaço somado ao vetor particular
). Esse conjunto é chamado de subespaço afim. Um ponto chave: se
então
, logo
. Como a presença do vetor zero é necessária para ser subespaço,
não é subespaço.
Portanto, tanto no caso inconsistente quanto no consistente (com
), o conjunto solução não é subespaço vetorial.
Conclusão deste passo: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 7
Alguns exemplos rápidos para fixar (não é resolução nova, só intuição):
- Para I:
mas . Assim não é subespaço. - Para II: reflexão em
em relação ao eixo tem matriz
que é linear; sua imagem é todo
, um subespaço.
- Para III: em
, o sistema (matriz , ) tem solução , que não contém , logo não é subespaço.
Força aí — você já entendeu o método: testar presença do zero e usar estrutura de soluções. Agora eu já determinei a verdade/falsidade de cada afirmativa individualmente nos passos anteriores.]
Resposta
(H)