Q13: Em um determinado fenômeno fisico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência è Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configuragōes de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
1
-30.4
-2
2
-11.7
-1
3
1.9
0
-1
-6.8
1
4
4.5
2
-5
-32.9
3
-5
-48.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestāo: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -196.8
(B) -195.8
(C) -194.8
(D) -193.8
(E) -192.8
(F) -191.8
(G) -190.8
(H) -189.8
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, por mínimos quadrados, os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições dadas, e em seguida calcule o valor previsto de Z para (x,y)=(8,7). Os dados fornecidos estão na tabela:
\begin{aligned} &\text{Dados: }(x_i,y_i,Z_i)\text{ para }i=1,\dots,7\text{ conforme a tabela acima.}\\\ &\text{Modelo: }Z_i \approx a x_i^{2} + b y_i + c.\\\ &\text{Objetivo: determinar }a,b,c\text{ por mínimos quadrados e avaliar }Z(8,7). \end{aligned}
Passo 2
Explicação didática do método (mínimos quadrados linear em parâmetros).
Queremos escolher os parâmetros (a,b,c) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{7}\big(Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c)\big)^2.
Como o modelo é linear em a,b,c (mesmo que haja x^2), podemos escrever em forma matricial
Resolução por eliminação (mostro os passos algébricos e frações intermediárias para você poder reproduzir na prova).
Começo eliminando [a) das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Multiplicador para eliminar entrada -41 (linha 2): m_{21}=\dfrac{-41}{196}. Faço R_2 := R_2 - m_{21}R_1. Isso dá, exatamente (valores em forma fracionária quando útil):
e o lado direito passa a \dfrac{48417}{245}\approx 197{,}722449.
(Mais precisamente, a segunda linha reduzida é \;0,\;14195/196,\;952/196 com RHS 48417/245; eu usei forma decimal para facilitar leitura.)
Multiplicador para eliminar entrada 28 (linha 3): m_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}. Faço R_3 := R_3 - m_{31}R_1. Isso dá
Multiplico convenientemente para obter inteiros e facilitar a solução: multiplicando a primeira por 196\] e a segunda por \[196 (e simplificando), obtemos o sistema inteiro