Q13: Em um determinado fenômeno fisico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência è Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configuragōes de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 1 -30.4
-2 2 -11.7
-1 3 1.9
0 -1 -6.8
1 4 4.5
2 -5 -32.9
3 -5 -48.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestāo: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -196.8
(B) -195.8
(C) -194.8
(D) -193.8
(E) -192.8
(F) -191.8
(G) -190.8
(H) -189.8

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, por mínimos quadrados, os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições dadas, e em seguida calcule o valor previsto de Z para (x,y)=(8,7). Os dados fornecidos estão na tabela:
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z \\\ \hline -3 & 1 & -30{,}4 \\\\ -2 & 2 & -11{,}7 \\\\ -1 & 3 & 1{,}9 \\\\ 0 & -1 & -6{,}8 \\\\ 1 & 4 & 4{,}5 \\\\ 2 & -5 & -32{,}9 \\\\ 3 & -5 & -48{,}0 \end{array}
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Dados: }(x_i,y_i,Z_i)\text{ para }i=1,\dots,7\text{ conforme a tabela acima.}\\\ &\text{Modelo: }Z_i \approx a x_i^{2} + b y_i + c.\\\ &\text{Objetivo: determinar }a,b,c\text{ por mínimos quadrados e avaliar }Z(8,7). \end{aligned}í

Passo 2

Explicação didática do método (mínimos quadrados linear em parâmetros).
Queremos escolher os parâmetros (a,b,c) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{7}\big(Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c)\big)^2.
Como o modelo é linear em a,b,c (mesmo que haja x^2), podemos escrever em forma matricial
\mathbf{Z} \approx X\boldsymbol{\beta},
onde
\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}, \quad \mathbf{Z}=\begin{pmatrix}Z_1\\\ \vdots\\\ Z_7\end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix}x_1^2 & y_1 & 1\\\ \vdots & \vdots & \vdots\\\ x_7^2 & y_7 & 1\end{pmatrix}.
A solução por mínimos quadrados (equações normais) é dada por
\boldsymbol{\hat\beta}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}\mathbf{Z},
isto é, resolvemos o sistema linear
X^{T}X\,\boldsymbol{\beta}=X^{T}\mathbf{Z}.
Vou montar as somas necessárias e resolver explicitamente essas equações normais.

Passo 3

Calcular as quantidades auxiliares (peguei os valores x,y,Z da tabela do enunciado):
Primeiro, construo colunas auxiliares com x^2 e x^4 e produtos:
\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r} x & y & Z & x^{2} & x^{4} & x^{2}y & x^{2}Z \\\ \hline -3 & 1 & -30{,}4 & 9 & 81 & 9 & -273{,}6\\\\ -2 & 2 & -11{,}7 & 4 & 16 & 8 & -46{,}8\\\\ -1 & 3 & 1{,}9 & 1 & 1 & 3 & 1{,}9\\\\ 0 & -1 & -6{,}8 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 4 & 4{,}5 & 1 & 1 & 4 & 4{,}5\\\\ 2 & -5 & -32{,}9 & 4 & 16 & -20 & -131{,}6\\\\ 3 & -5 & -48{,}0 & 9 & 81 & -45 & -432{,}0 \end{array}
Agora somo as colunas relevantes (todas as somas obtidas a partir da tabela acima):
\begin{aligned} \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ \sum x^{4} &= 81+16+1+0+1+16+81 = 196,\\\ \sum x^{2}y &= 9+8+3+0+4-20-45 = -41,\\\ \sum x^{2}Z &= -273{,}6-46{,}8+1{,}9+0+4{,}5-131{,}6-432{,}0 = -877{,}6,\\\ \sum y &= 1+2+3-1+4-5-5 = -1,\\\ \sum y^{2} &= 1+4+9+1+16+25+25 = 81,\\\ \sum yZ &= -30{,}4-23{,}4+5{,}7+6{,}8+18+164{,}5+240 = 381{,}2,\\\ \sum Z &= -30{,}4-11{,}7+1{,}9-6{,}8+4{,}5-32{,}9-48{,}0 = -123{,}4,\\\ n&=7. \end{aligned}

Passo 4

Montar as equações normais.
Com as colunas na ordem (x^2,\;y,\;1), temos
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2} \\\ \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y \\\ \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -41 & 28 \\\\ -41 & 81 & -1 \\\\ 28 & -1 & 7 \end{pmatrix},
e
X^{T}\mathbf{Z} = \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z \\\ \sum yZ \\\ \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -877{,}6 \\\\ 381{,}2 \\\\ -123{,}4 \end{pmatrix}.
Então resolvo o sistema
\begin{pmatrix} 196 & -41 & 28 \\\\ -41 & 81 & -1 \\\\ 28 & -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -877{,}6 \\\\ 381{,}2 \\\\ -123{,}4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolução por eliminação (mostro os passos algébricos e frações intermediárias para você poder reproduzir na prova).
Começo eliminando [a) das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
Multiplicador para eliminar entrada -41 (linha 2): m_{21}=\dfrac{-41}{196}. Faço R_2 := R_2 - m_{21}R_1. Isso dá, exatamente (valores em forma fracionária quando útil):
R_2:\quad 0,\quad \frac{14195}{196},\quad \frac{952}{196/4?}\\ (\text{numérico})\approx 0,\;72{,}42346939,\;4{,}857142857,é
e o lado direito passa a \dfrac{48417}{245}\approx 197{,}722449.
(Mais precisamente, a segunda linha reduzida é
\;0,\;14195/196,\;952/196 com RHS 48417/245; eu usei forma decimal para facilitar leitura.)
Multiplicador para eliminar entrada 28 (linha 3): m_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}. Faço R_3 := R_3 - m_{31}R_1. Isso dá
R_3:\quad 0,\quad \frac{34}{7}\approx 4{,}857142857,\quad 3,\quad\text{RHS }=\frac{69}{35}\approx 1{,}971428571.
Após essa etapa temos o sistema reduzido (apenas as duas últimas equações não-triviais):
\begin{cases} \displaystyle \frac{14195}{196}b + \frac{952}{196}c = \frac{48417}{245},\\[6pt] \displaystyle \frac{34}{7}b + 3c = \frac{69}{35}. \end{cases}
Multiplico convenientemente para obter inteiros e facilitar a solução: multiplicando a primeira por 196\] e a segunda por \[196 (e simplificando), obtemos o sistema inteiro
\begin{cases} 14195\,b + 952\,c = \dfrac{193668}{5},\\[6pt] 952\,b + 588\,c = \dfrac{1932}{5}. \end{cases}
Multiplicando ambos por (5] para remover os denominadores:
\begin{cases} 70975\,b + 4760\,c = 193668,\\[6pt] 4760\,b + 2940\,c = 1932. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema 2\times2 por Cramer (ou eliminação). Usando determinantes:
Determinante principal
\Delta = 70975\cdot 2940 - 4760\cdot 4760 = 186\,008\,900.
Determinante para b:
\Delta_b = 193668\cdot 2940 - 4760\cdot 1932 = 560\,187\,600.
Logo
b = \frac{\Delta_b}{\Delta} \approx \frac{560\,187\,600}{186\,008\,900} \approx 3{,}01161719.
Determinante para c:
\Delta_c = 70975\cdot 1932 - 193668\cdot 4760 = -784\,735\,980,
logo
c = \frac{\Delta_c}{\Delta} \approx -\frac{784\,735\,980}{186\,008\,900} \approx -4{,}2188088.

Passo 7

Agora obtenho a substituindo b,c em uma das equações originais das normais (uso a primeira linha):
196\,a -41\,b + 28\,c = -877{,}6.
Isolando a:
a = \frac{-877{,}6 + 41\,b - 28\,c}{196}.
Substituindo os valores numéricos obtidos:
a \approx \frac{-877{,}6 + 41\cdot 3{,}01161719 - 28\cdot(-4{,}2188088)}{196} \approx -3{,}246938015.
Portanto os parâmetros ajustados (aproximações) são
a \approx -3{,}246938015,\qquad b \approx 3{,}01161719,\qquad c \approx -4{,}2188088.

Passo 8

Prever Z em (x,y)=(8,7). Basta usar o modelo ajustado
Z(8,7) = a\cdot 8^{2} + b\cdot 7 + c = a\cdot 64 + 7b + c.
Calculo numérico:
a\cdot 64 \approx -3{,}246938015\cdot 64 \approx -207{,}80403295,
7b \approx 7\cdot 3{,}01161719 \approx 21{,}08132033,
c \approx -4{,}2188088.
Somando:
Z(8,7) \approx -207{,}80403295 + 21{,}08132033 - 4{,}2188088 \approx -190{,}94152145.
Arredondando e comparando com as opções fornecidas, o valor previsto mais próximo é -190{,}8.

Resposta

(G) -190{,}8

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