Q13: Calcule o autoespaço associado ao menor autovalor da matriz abaixo e então assinale qual dos seguintes vetores pode ser um autovetor deste subespaço (com ★ substituído por um valor apropriado).
Calcular o autoespaço (espaço próprio) associado ao menor autovalor desta matriz.
Entre as alternativas (A)–(F), indicar qual vetor pode ser um autovetor desse autoespaço, completando o \star com o valor apropriado.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Os coeficientes da matriz A estão todos explícitos nas entradas acima.
As alternativas fornecem vetores com primeira coordenada \,7\, e diferentes segundas coordenadas; a terceira coordenada é o \star que deve ser escolhida.]
Passo 2
Primeiro precisamos descobrir qual é o menor autovalor de A.
Fato útil (explicação curta): para uma matriz triangular (superior ou inferior), os autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Isso ocorre porque o polinômio característico \det(A-\lambda I) de uma matriz triangular é o produto dos termos (a_{ii}-\lambda) na diagonal.
Aplicando isso a A, os autovalores são as entradas diagonais:
Vamos resolver (A-2I)v=0\). Seja \(v=(x,y,z)^{T}\). Multiplicando a matriz pelas coordenadas obtemos o sistema linear:
\[\begin{cases} 4x - 7y - 5z = 0,\\[4pt] 0x + 0y + 1z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue imediatamente que
z=0.
Substituindo z=0\] na primeira equação dá
\[4x - 7y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 7y \quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{7}{4}\,y.\]
Tomando \(y como parâmetro livre, escrevemos y=t. Então
x=\dfrac{7}{4}t,\qquad y=t,\qquad z=0.
Isso implica que um vetor genérico do autoespaço é
Ou seja, todos os autovetores associados a \lambda=2 são múltiplos escalares do vetor \begin{pmatrix}7\\[4pt]4\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Pequena interpretação didática: o autoespaço é uma reta (dimensão 1) no \mathbb{R}^3 gerada pelo vetor \begin{pmatrix}7\\[4pt]4\\[4pt]0\end{pmatrix}. Qualquer autovetor para \lambda=2 tem terceira coordenada 0 e relação x=\tfrac{7}{4}y entre as duas primeiras coordenadas.]
Passo 5
Agora usamos essa descrição para verificar as alternativas. Cada alternativa dá um vetor com primeira coordenada 7. Se um vetor v está no autoespaço, então existe um escalar k tal que
v = k\begin{pmatrix}7\\[4pt]4\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira coordenada obtemos 7 = 7k, logo k=1. Portanto, o vetor candidato deve ser exatamente
\begin{pmatrix}7\\[4pt]4\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Das alternativas (A)–(F) a única que tem segunda coordenada igual a 4 é a alternativa (A); além disso a terceira coordenada tem de ser 0 para o vetor pertencer ao autoespaço.]