Questão 1 Ainda não respondida Vale 1,00 ponto(s). p Marcar questão
Qual a equação do plano que passa pelos pontos
P_{1}=(1,0,0), P_{2}=(0,1,0) e P_{3}=(0,-1,1)
Escolha uma opção:
a. x+y+2 z-1=0
b. x+y+z-1=0
c. x-2 y+z-1=0
d. x+y+z+1=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por P_{1}=(1,0,0), P_{2}=(0,1,0) e P_{3}=(0,-1,1). O conteúdo é Geometria Analítica no espaço, e vamos precisar usar vetores diretores e produto vetorial para obter um vetor normal ao plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores que estejam no plano, por exemplo
\vec v_{1} = P_{2} - P_{1} = (0-1,\;1-0,\;0-0) = (-1,1,0),
\vec v_{2} = P_{3} - P_{1} = (0-1,\;-1-0,\;1-0) = (-1,-1,1).

Passo 3

Calculamos o vetor normal \vec n = \vec v_{1} \times \vec v_{2} pelo determinante:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1 - 0\cdot(-1),\;-(-1\cdot1 - 0\cdot(-1)),\;-1\cdot(-1) - 1\cdot(-1)) = (1,1,2).

Passo 4

A equação geral do plano com normal \vec n=(1,1,2) passando por P_{1}=(1,0,0) é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_{1}\bigr)=0,
isto é,
1\,(x-1)+1\,(y-0)+2\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+2z-1=0.

Resposta

a. x+y+2z-1=0

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