Q15: Seja p(x)=-11-12 x+6 x^{2} e
\beta=\left\{1+2 x-2 x^{2}, \quad 2+2 x, \quad-2-3 x+4 x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 1
(B) 2
(C) -4
(D) 3
(E) 4
(F) -2
(G) -3
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x) = -11 - 12x + 6x^2 e a base \beta = \{\,b_1, b_2, b_3\} do espaço dos polinômios de grau até 2, onde
b_1(x) = 1 + 2x - 2x^2,\quad b_2(x) = 2 + 2x,\quad b_3(x) = -2 -3x + 4x^2.
Queremos encontrar as coordenadas [p]_{\beta} = (a,b,c) tais que
a\,b_1(x) + b\,b_2(x) + c\,b_3(x) = p(x),
e, em particular, determinar o valor de c.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando coeficientes em cada potência de x, temos
a(1+2x-2x^2) + b(2+2x) + c(-2-3x+4x^2) = -11 -12x +6x^2.
Isso gera o sistema
\begin{cases} a + 2b - 2c = -11,\\\\ 2a + 2b - 3c = -12,\\\\ -2a \;\;+\;\;4c = 6. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação, que corresponde aos coeficientes de x^2, isolamos c em função de a:
-2a + 4c = 6 \quad\Longrightarrow\quad 4c = 6 + 2a \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{6 + 2a}{4} = \frac{3 + a}{2}.

Passo 4

Usamos a segunda equação para relacionar a e c. Da equação
2a + 2b - 3c = -12
e também da primeira para b, mas é mais direto combinar primeira e segunda para obter
(2a + 2b - 3c) - 2\,(a + 2b - 2c) = -12 - 2(-11),
que simplifica a
a - c = -1 \quad\Longrightarrow\quad a = c - 1.
Substituindo em c = (3 + a)/2
c = \frac{3 + (c - 1)}{2} = \frac{2 + c}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2c = 2 + c \quad\Longrightarrow\quad c = 2.

Resposta

(B) 2

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