Q15: Seja p(x)=-15+21 x+38 x^{2} \mathrm{e}
\beta=\left\{3-3 x-6 x^{2}, \quad-1+2 x+4 x^{2}, \quad-1+2 x+2 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 1
(B) 4
(C) 2
(D) -1
(E) -2
(F) -4
(G) 3
(H) -3

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = -15 + 21x + 38x^2
e a base
\beta = \bigl\{\,3-3x-6x^2,\;-1+2x+4x^2,\;-1+2x+2x^2\bigr\}
do espaço dos polinômios de grau ≤2. Queremos escrever
p(x) = a\,(3-3x-6x^2) \;+\; b\,(-1+2x+4x^2)\;+\;c\,(-1+2x+2x^2)
e achar a coordenada c.

Passo 2

Expandindo a combinação linear, obtemos
a(3-3x-6x^2) + b(-1+2x+4x^2) + c(-1+2x+2x^2) = (3a - b - c) +(-3a +2b +2c)\,x +(-6a +4b +2c)\,x^2.

Passo 3

Igualando coeficientes com -15 +21x+38x^2, formamos o sistema
\begin{cases} 3a - b - c = -15,\\\\ -3a +2b +2c = 21,\\\\ -6a +4b +2c = 38. \end{cases}

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(-3a+2b+2c) - (3a -b -c) =21 -(-15) \;\Longrightarrow\; -6a+3b+3c =36 \;\Longrightarrow\; -2a + b + c =12,
ou seja
b+c =12 +2a.
Da primeira equação também vem
3a - b - c = -15 \;\Longrightarrow\; b+c =3a+15.
Igualando b+c:
12 +2a = 3a+15 \;\Longrightarrow\; a = -3.

Passo 5

Para achar b, subtraímos a segunda da terceira equação:
(-6a+4b+2c) -(-3a+2b+2c) =38-21 \;\Longrightarrow\; -3a+2b =17 \;\Longrightarrow\; 2b =17+3a =17-9 =8 \;\Longrightarrow\; b = 4.
Por fim, de b+c =3a+15 com a=-3 e b=4:
4 + c =3(-3)+15 =6 \;\Longrightarrow\; c = 2.

Resposta

2

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