Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -1 & -3 & 6 \\\\ -2 & 3 & 5 & -11 \\\\ 2 & -4 & -2 & 13 \\\\ 2 & 0 & -1 & 5 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede a solução de mínimos quadrados para o sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde
A=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -3\\\\ -2 & 3 & 5\\\\ 2 & -4 & -2\\\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b}=\begin{pmatrix}6\\\ -11\\\ 13\\\ 5\end{pmatrix}.
O método de mínimos quadrados usa as equações normais
A^T A\,\vec{x} = A^T\vec{b}.

Passo 2

Calcular A^T A. Denotando as colunas de A por \vec{c}_1,\vec{c}_2,\vec{c}_3, temos
(A^T A)_{ij} = \vec{c}_i\cdot \vec{c}_j.
Fazendo as contas,
A^T A =\begin{pmatrix} 13 & -13 & -13\\\\ -13 & 26 & 26\\\\ -13 & 26 & 39 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular A^T\vec{b}:
A^T\vec{b} =\begin{pmatrix} \vec{c}_1\cdot\vec{b}\\\ \vec{c}_2\cdot\vec{b}\\\ \vec{c}_3\cdot\vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}52\\\ -91\\\ -104\end{pmatrix}.

Passo 4

Montar e simplificar as equações normais:
\begin{cases} 13x_1 -13x_2 -13x_3 =52,\\\\ -13x_1+26x_2+26x_3 =-91,\\\\ -13x_1+26x_2+39x_3 =-104. \end{cases}
Dividindo cada linha por 13\), \[\begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 =4,\\\\ -\,x_1+2x_2+2x_3 =-7,\\\\ -\,x_1+2x_2+3x_3 =-8. \end{cases}
Da primeira, x_1=4 + x_2 + x_3\]. Substituindo nas outras: \[\begin{cases} x_2 + x_3 =-3,\\\ x_2 +2x_3 =-4, \end{cases}\] que dá \(x_3=-1 e x_2=-2. Logo
x_1 =4 +(-2)+(-1)=1.

Resposta

E (1)

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