Q14:Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(3 x+4 y-6 z, \frac{y}{7}-8 z, z\right),
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} \mathrm{um} paralelepípedo com volume 2. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de $Q.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=\left(3x+4y-6z,\;\frac{y}{7}-8z,\;z\right),
e diz que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 2. A pergunta é: qual é o volume de T(Q) em relação ao volume de Q? As alternativas são:
(A) pode ser maior ou menor; (B) é menor; (C) é maior; (D) é igual.

Passo 2

Primeiro passinho técnico: representar T por uma matriz em relação à base canônica. Para uma transformação linear da forma dada, a matriz A que satisfaz T(v)=A v (onde v=(x,y,z)) tem linhas correspondendo às coordenadas das imagens das componentes. Assim:
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -6\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{7} & -8\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: a primeira linha produz 3x+4y-6z, a segunda linha produz \tfrac{1}{7}y-8z e a terceira produz z, que bate com T.]

Passo 3

Agora uma lição curta e essencial (bem mastigada): para uma transformação linear T com matriz A, o determinante de A, \det(A), é o fator pelo qual volumes são escalados (com sinal). Ou seja, para qualquer conjunto bem-comportado S\subset\mathbb{R}^3,
\text{Vol}(T(S)) = \bigl|\det(A)\bigr| \cdot \text{Vol}(S).
Explicando: o valor de \det(A) pode ser negativo (indica inversão de orientação), mas para volume usamos o valor absoluto \bigl|\det(A)\bigr|. Então nosso objetivo é calcular \det(A) e multiplicar pelo volume original 2.

Passo 4

Observação prática que facilita a conta: A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares vale a propriedade simples:
\det(A)=\text{produto dos elementos da diagonal principal}.
Aqui a diagonal é 3,\; \tfrac{1}{7},\; 1. Portanto
\det(A)=3\cdot \tfrac{1}{7}\cdot 1 = \tfrac{3}{7}.
Não deu trabalho porque triangular = produto das diagonais.

Passo 5

Aplicando a regra de escala de volume do Passo 3, o volume de T(Q) é
\text{Vol}(T(Q))=\bigl|\det(A)\bigr|\cdot \text{Vol}(Q)=\left|\tfrac{3}{7}\right|\cdot 2=\tfrac{3}{7}\cdot 2=\tfrac{6}{7}.

Passo 6

Comparação final: \tfrac{6}{7} é menor que 2. Logo o volume de T(Q) é menor do que o volume de Q. Em termos da alternativa correta do enunciado, é a (B).

Resposta

(B)

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