Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se S é base, então A é LI.
II - Se S é LD, então A é LD ou B é LD ou C é LD.
III - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

O enunciado define S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^3 e as partes A=\{\vec v_1,\vec v_2\}, B=\{\vec v_1,\vec v_3\}, C=\{\vec v_2,\vec v_3\}. Pede para avaliar as afirmações I (sobre base e LI), II (dependência de S vs pares) e III (coplanaridade implica LD). O conteúdo envolvido é independência linear, dependência, base e dimensão em \mathbb R^3.

Passo 2

Analisando I: se S é base de \mathbb R^3, então S é LI. Mas toda parte de um conjunto LI também é LI. Logo A\subset S é LI. Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: diz que se S é LD então algum dos pares A,B,C é LD. Mas basta o exemplo
\vec v_1 e \vec v_2 serem LI e \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2. Então
\vec v_1+\vec v_2-\vec v_3=0
mostra S LD, mas A,B,C são todos LI (nenhum par é múltiplo). Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando III: três vetores são chamados de coplanares quando estão contidos em um mesmo plano que passa pela origem, isto é, em um subespaço de dimensão \le2. Nessa situação, o espaço gerado por \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} tem dimensão no máximo 2, de modo que três vetores neste subespaço são sempre LD. Portanto III é verdadeira.

Resposta

(D)

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