Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é base, então
é LI.
II - Se
é LD, então
é LD ou
é LD ou
é LD.
III - Se
são coplanares, então
é LD.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
O enunciado define
e as partes
,
,
. Pede para avaliar as afirmações I (sobre base e LI), II (dependência de
vs pares) e III (coplanaridade implica LD). O conteúdo envolvido é independência linear, dependência, base e dimensão em
.
Passo 2
Analisando I: se
é base de
, então
é LI. Mas toda parte de um conjunto LI também é LI. Logo
é LI. Portanto I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: diz que se
é LD então algum dos pares
é LD. Mas basta o exemplo
e
serem LI e
. Então
mostra
LD, mas
são todos LI (nenhum par é múltiplo). Logo II é falsa.
Passo 4
Analisando III: três vetores são chamados de coplanares quando estão contidos em um mesmo plano que passa pela origem, isto é, em um subespaço de dimensão
. Nessa situação, o espaço gerado por
tem dimensão no máximo 2, de modo que três vetores neste subespaço são sempre LD. Portanto III é verdadeira.
Resposta
(D)