Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I - Existe subconjunto LI de V com 9 vetores.
II - Nenhum subconjunto de V com 9 vetores é uma base de V.
III - Existe um subconjunto de V com 7 vetores que é LI e não gera V.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Apenas I e II são verdadeiras.
(F) Apenas II é verdadeira.
(G) Apenas II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 8. Vamos usar os teoremas básicos de dimensão:
  1. Em um espaço de dimensão n, toda família de vetores linearmente independentes (LI) tem no máximo n elementos.
  2. Toda família geradora de V tem no mínimo n elementos.
  3. Uma família é base de V se, e só se, for LI e tiver exatamente n vetores.
Com isso, analisaremos cada afirmativa.

Passo 2

Afirmativa I: “Existe subconjunto LI de V com 9 vetores.”
Pelo teorema da dimensão, em um espaço de dimensão 8 não há como ter 9 vetores LI (qualquer conjunto com mais de 8 vetores é linearmente dependente).
Logo, I é falsa.

Passo 3

Afirmativa II: “Nenhum subconjunto de V com 9 vetores é uma base de V.”
Uma base de V deve ter exatamente 8 vetores. Qualquer conjunto com 9 vetores em V é linearmente dependente (pois excede a dimensão), então não pode ser uma base.
Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa III: “Existe um subconjunto de V com 7 vetores que é LI e não gera V.”
Em dimensão 8, qualquer conjunto LI com menos de 8 vetores não pode gerar V. Basta escolher 7 vetores LI quaisquer; eles serão independentes mas não formarão sistema gerador.
Logo, III é verdadeira.

Resposta

G: Apenas II e III são verdadeiras.

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