Q15: Seja p(x)=11+10 x+34 x^{2} e \beta=\left\{3+3 x+9 x^{2}, \quad 1-x-x^{2}, \quad 3+2 x+8 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -1
(B) 1
(C) -2
(D) 2
(E) 4
(F) -3
(G) 3
(H) -4

Passo 1

O enunciado dá p(x)=11+10x+34x^2 e a base \beta=\{b_1,b_2,b_3\} com
b_1=3+3x+9x^2,\quad b_2=1-x-x^2,\quad b_3=3+2x+8x^2.
Queremos encontrar c em [p]_\beta=(a,b,c), ou seja,
p(x)=a\,b_1(x)+b\,b_2(x)+c\,b_3(x).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear
a(3+3x+9x^2)+b(1-x-x^2)+c(3+2x+8x^2)=11+10x+34x^2
e, comparando coeficientes de 1, x e x^2, obtemos o sistema:
\begin{cases} 3a+b+3c=11,\\\\ 3a - b +2c=10,\\\\ 9a - b +8c=34. \end{cases}

Passo 3

Somando a primeira e a segunda equações:
(3a+b+3c)+(3a-b+2c)=6a+5c=21.
Subtraindo a segunda da terceira:
(9a-b+8c)-(3a-b+2c)=6a+6c=24 \quad\Longrightarrow\quad a+c=4.

Passo 4

Da equação a+c=4 segue a=4-c. Substituindo em 6a+5c=21:
6(4-c)+5c=21 \quad\Longrightarrow\quad 24-c=21 \quad\Longrightarrow\quad c=3.

Resposta

3

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