Q3: Sabendo que o ponto (-3,-2,-2, k) pertence ao plano (-2,1,-2,-1)+\operatorname{span}\{(-1,-1,-1,3),(1,-1,2,2)\}, assinale o valor de k :
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Ponto dado que deve pertencer ao plano: (-3,-2,-2,k).
  • Ponto que serve de referência (ponto do plano): (-2,1,-2,-1).
  • Vetores que geram o plano (span): (-1,-1,-1,3) e (1,-1,2,2).
  • O enunciado pede o valor de k tal que (-3,-2,-2,k) esteja nesse plano.

Passo 2

Entendendo a condição de pertencimento a um plano afim gerado por um ponto e um span: o ponto (-3,-2,-2,k) pertence ao plano exatamente quando existem escalares s e t tais que
(-3,-2,-2,k)=(-2,1,-2,-1)+s(-1,-1,-1,3)+t(1,-1,2,2).
Aqui s e t são os coeficientes da combinação linear das direções do plano.

Passo 3

Vamos escrever essa igualdade vetor a vetor, obtendo quatro equações escalares (uma para cada coordenada). Da igualdade acima obtemos:
\begin{cases} -2 - s + t = -3,\\[4pt] 1 - s - t = -2,\\[4pt] -2 - s + 2t = -2,\\[4pt] -1 + 3s + 2t = k. \end{cases}
As três primeiras equações determinarão s e t; a última dará k depois que s e t forem conhecidos.]

Passo 4

Simplifico as três primeiras equações para escrever um sistema mais claro.
  1. Primeira equação: -2 - s + t = -3. Subtraindo -2 do lado esquerdo,
- s + t = -1.
  1. Segunda equação: 1 - s - t = -2. Subtraindo 1,
- s - t = -3.
Multiplicando por -1 fica
s + t = 3.
  1. Terceira equação: -2 - s + 2t = -2. Subtraindo -2,
- s + 2t = 0.
Ou seja,
s = 2t.
Agora o sistema equivalente é
\begin{cases} - s + t = -1,\\[4pt] s + t = 3,\\[4pt] s = 2t. \end{cases}]

Passo 5

Use a relação s=2t na primeira equação -s+t=-1. Substituindo s=2t:
- (2t) + t = -1 \quad\Rightarrow\quad -2t + t = -1 \quad\Rightarrow\quad -t = -1 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Com t=1, s=2t
s = 2\cdot 1 = 2.
Verificação rápida: s+t=2+1=3, OK.

Passo 6

Agora uso a quarta equação para obter k:
k = -1 + 3s + 2t.
Substituindo s=2 e t=1:
k = -1 + 3\cdot 2 + 2\cdot 1 = -1 + 6 + 2 = 7.

Resposta

(D) k=7

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