Q15- Um certo alguém, decidiu que faria uma pintura utilizando apenas 3 cores diferentes. Ao olhar seu estoque, reparou que havia uma disponibilidade de 15 cores diferentes. Quantas diferentes combinações de cores podem ser feitas para realizar a obra de arte?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
- Disponibilidade de cores:
cores diferentes. - Necessidade: usar apenas
cores diferentes na pintura.
O enunciado pergunta quantas combinações diferentes de cores podem ser feitas com essas condições.
Passo 2
Interpretação importante (sem resolver ainda): como o enunciado fala em “3 cores diferentes”, isso significa que não se permite repetir uma cor (cada uma das 3 é distinta). Além disso, para uma pintura normalmente a ordem em que se escolhe as cores não importa (a combinação
é a mesma que
). Logo devemos contar subconjuntos de tamanho
extraídos de um conjunto de
elementos — isto é, combinações sem ordem e sem repetição.
Passo 3
Fórmula que vamos usar (explicando cada parte): para escolher
elementos distintos de um total de
quando a ordem não importa, usamos o coeficiente binomial
Aqui:
-
(lê-se “n fatorial”) significa . -
e são fatorias análogas.
A razão desta fórmula vem do fato de primeiro contar todas as sequências ordenadas () e depois dividir pelas permutações internas dos elementos ( ) que reordenam as mesmas escolhas.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso com
e
(peguei esses números do enunciado):
Explicação da simplificação: escrevendo
permite cancelar o
no numerador com o
do denominador, ficando
E como
, temos
Passo 5
Vamos simplificar a divisão sem usar calculadora, fazendo cancelamentos fáceis:
- Dividir
por dá . - Dividir
por dá .
Assim
Para ajudar a acompanhar a conta:
, então o resultado está em
.
Passo 6
Observações rápidas para lembrar na prova (para não confundir):
- Se a ordem importasse (ou seja, escolher uma sequência de 3 cores), contaríamos permutações e o total seria
. - Se fosse permitido repetir cores (por exemplo escolher 3 cores com repetição e sem ordem), usaríamos a fórmula de combinação com repetição
.
No nosso caso, a interpretação correta é combinação simples sem repetição, então usamos.
Passo 7
Coragem — essa é daquelas contas diretas de combinatória que caem bastante em prova. A técnica-chave: identificar se a ordem importa e se há repetição; depois aplicar
quando for combinação sem ordem e sem repetição.
Resposta
455