Q15- Um certo alguém, decidiu que faria uma pintura utilizando apenas 3 cores diferentes. Ao olhar seu estoque, reparou que havia uma disponibilidade de 15 cores diferentes. Quantas diferentes combinações de cores podem ser feitas para realizar a obra de arte?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Disponibilidade de cores: \;15 cores diferentes.
  • Necessidade: usar apenas \;3 cores diferentes na pintura.
    O enunciado pergunta quantas combinações diferentes de cores podem ser feitas com essas condições.

Passo 2

Interpretação importante (sem resolver ainda): como o enunciado fala em “3 cores diferentes”, isso significa que não se permite repetir uma cor (cada uma das 3 é distinta). Além disso, para uma pintura normalmente a ordem em que se escolhe as cores não importa (a combinação \{\text{azul, vermelho, amarelo}\} é a mesma que \{\text{amarelo, azul, vermelho}\}). Logo devemos contar subconjuntos de tamanho \;3 extraídos de um conjunto de \;15 elementos — isto é, combinações sem ordem e sem repetição.

Passo 3

Fórmula que vamos usar (explicando cada parte): para escolher \;k elementos distintos de um total de \;n quando a ordem não importa, usamos o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui:
  • \;n! (lê-se “n fatorial”) significa \;n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1.
  • \;k! e \;(n-k)! são fatorias análogas.
    A razão desta fórmula vem do fato de primeiro contar todas as sequências ordenadas ( n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)) e depois dividir pelas permutações internas dos \;k elementos ( k!) que reordenam as mesmas escolhas.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso com \;n=15 e \;k=3 (peguei esses números do enunciado):
\binom{15}{3}=\dfrac{15!}{3!\,12!}.
Explicação da simplificação: escrevendo 15!=15\cdot14\cdot13\cdot12! permite cancelar o \;12! no numerador com o \;12! do denominador, ficando
\binom{15}{3}=\dfrac{15\cdot14\cdot13}{3!}.
E como \;3!=3\cdot2\cdot1=6, temos
\binom{15}{3}=\dfrac{15\cdot14\cdot13}{6}.

Passo 5

Vamos simplificar a divisão sem usar calculadora, fazendo cancelamentos fáceis:
  • Dividir \;14 por \;2 \;7.
  • Dividir \;15 por \;3 \;5.
    Assim
\binom{15}{3}=\dfrac{15\cdot14\cdot13}{3\cdot2\cdot1}=5\cdot7\cdot13.
Para ajudar a acompanhar a conta: 5\cdot7=35, então o resultado está em 35\cdot13.

Passo 6

Observações rápidas para lembrar na prova (para não confundir):
  • Se a ordem importasse (ou seja, escolher uma sequência de 3 cores), contaríamos permutações e o total seria 15\cdot14\cdot13.
  • Se fosse permitido repetir cores (por exemplo escolher 3 cores com repetição e sem ordem), usaríamos a fórmula de combinação com repetição \binom{n+k-1}{k}.
    No nosso caso, a interpretação correta é combinação simples sem repetição, então usamos \binom{15}{3}.

Passo 7

Coragem — essa é daquelas contas diretas de combinatória que caem bastante em prova. A técnica-chave: identificar se a ordem importa e se há repetição; depois aplicar \binom{n}{k} quando for combinação sem ordem e sem repetição.

Resposta

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