Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
pode ser LD.
II - Se
é LD, então
pode ser LI.
III - Se
são coplanares, então
é LD.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas III é verdadeira.
A dimensão de
é:
(A) 2
(B) 17
(C) 15
(D) 4
(E) 14
(F) 13
(G) 3
(H) 16
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas III é verdadeira.
(A) 2
(B) 17
(C) 15
(D) 4
(E) 14
(F) 13
(G) 3
(H) 16
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto
de vetores distintos e define os subconjuntos
Pede-se primeiro analisar três afirmativas sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) desses conjuntos, depois determinar a dimensão de .
Pede-se primeiro analisar três afirmativas sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) desses conjuntos, depois determinar a dimensão de
Passo 2
Analisando I: “Se
é LI, então
pode ser LD.”
Se é LI, então
formam uma base de um plano em
. Se
estiver nesse mesmo plano, então
é combinação linear de
e
será LD. Logo, I é verdadeira.
Se
Passo 3
Analisando II: “Se
é LD, então
pode ser LI.”
ser LD significa que há alguma relação não trivial entre
. Mas é perfeitamente possível que justamente
dependa de
, enquanto
são LI. Logo,
pode ser LI. Portanto, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: “Se
são coplanares, então
é LD.”
Em , três vetores coplanares (quando posicionados na mesma origem) vivem num subespaço de dimensão 2. Três vetores num subespaço de dimensão 2 não podem ser todos LI, logo são LD. Assim, III é verdadeira.
Em
Passo 5
Como I, II e III são verdadeiras simultaneamente, a alternativa correta para as afirmativas é “Todas são verdadeiras”, que corresponde à opção F.
Passo 6
A dimensão de
é, por definição, a dimensão do subespaço gerado por
. Em
esse valor máximo é 3 e, de fato, para vetores em posição geral, atinge-se
. A opção é G.
Resposta
Parte I: F
Parte II: G
Parte II: G