Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A é LI, então S pode ser LD.
II - Se S é LD, então A pode ser LI.
III - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S é LD.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Apenas II e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas III é verdadeira.
A dimensão de S é:
(A) 2
(B) 17
(C) 15
(D) 4
(E) 14
(F) 13
(G) 3
(H) 16

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb{R}^3 de vetores distintos e define os subconjuntos \;A=\{\vec v_1,\vec v_2\},\;B=\{\vec v_1,\vec v_3\},\;C=\{\vec v_2,\vec v_3\}.
Pede-se primeiro analisar três afirmativas sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) desses conjuntos, depois determinar a dimensão de S.

Passo 2

Analisando I: “Se A é LI, então S pode ser LD.”
Se A é LI, então \vec v_1,\vec v_2 formam uma base de um plano em \mathbb{R}^3. Se \vec v_3 estiver nesse mesmo plano, então \vec v_3 é combinação linear de \vec v_1,\vec v_2 e S será LD. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Se S é LD, então A pode ser LI.” S ser LD significa que há alguma relação não trivial entre \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3. Mas é perfeitamente possível que justamente \vec v_3 dependa de \vec v_1,\vec v_2, enquanto \vec v_1,\vec v_2 são LI. Logo, A pode ser LI. Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 são coplanares, então S é LD.”
Em \mathbb{R}^3, três vetores coplanares (quando posicionados na mesma origem) vivem num subespaço de dimensão 2. Três vetores num subespaço de dimensão 2 não podem ser todos LI, logo são LD. Assim, III é verdadeira.

Passo 5

Como I, II e III são verdadeiras simultaneamente, a alternativa correta para as afirmativas é “Todas são verdadeiras”, que corresponde à opção F.

Passo 6

A dimensão de S é, por definição, a dimensão do subespaço gerado por \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3. Em \mathbb{R}^3 esse valor máximo é 3 e, de fato, para vetores em posição geral, atinge-se \dim(\mathrm{span}\,S)=3. A opção é G.

Resposta

Parte I: F
Parte II: G

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