Questão 8. Dados \vec{v}_{1}=(1,1,0), \vec{v}_{2}=(0,1,1), \vec{v}_{3}=(1,2,1) :
a) Determine se os vetores são LI ou LD
b) Encontre uma base para o subespaço gerado por eles e sua dimensão

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec v_{1}=(1,1,0), \vec v_{2}=(0,1,1) e \vec v_{3}=(1,2,1) em \mathbb{R}^3. Pede-se (a) verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) e (b) encontrar uma base do subespaço que eles geram, assim como sua dimensão. O conteúdo aqui é dependência linear e construção de base.

Passo 2

Para testar dependência linear, procuramos coeficientes a,b,c não todos nulos tais que
a\,\vec v_{1}+b\,\vec v_{2}+c\,\vec v_{3}=\vec0.
Observe que
\vec v_{1}+\vec v_{2}=(1,1,0)+(0,1,1)=(1,2,1)=\vec v_{3}.
Logo basta escolher a=1, b=1 e c=-1 para ter
1\cdot\vec v_{1}+1\cdot\vec v_{2}+(-1)\cdot\vec v_{3}=\vec0,
mostrando que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Como \vec v_{3} é combinação de \vec v_{1} e \vec v_{2}, o subespaço gerado por \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} coincide com o gerado por \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Vamos verificar que \vec v_{1} e \vec v_{2} são independentes: se a\vec v_{1}+b\vec v_{2}=\vec0, então
(a,b)\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\\\ 0&1\end{pmatrix}=\,(0,0,0) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} a=0,\\\ a+b=0\implies b=0,\\\ b=0, \end{cases}
portanto só a solução trivial existe e são LI.

Passo 4

Assim, uma base do subespaço gerado pelos três vetores é
\{\,(1,1,0),\,(0,1,1)\},
e a dimensão desse subespaço é 2.

Resposta

a) Os vetores são linearmente dependentes.
b) Uma base para o subespaço gerado é \{(1,1,0),\,(0,1,1)\} e sua dimensão é 2.

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