Questão 8. Dados \vec{v}_{1}=(1,1,0), \vec{v}_{2}=(0,1,1), \vec{v}_{3}=(1,2,1) :
a) Determine se os vetores são LI ou LD
b) Encontre uma base para o subespaço gerado por eles e sua dimensão
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec v_{1}=(1,1,0), \vec v_{2}=(0,1,1) e \vec v_{3}=(1,2,1) em \mathbb{R}^3. Pede-se (a) verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) e (b) encontrar uma base do subespaço que eles geram, assim como sua dimensão. O conteúdo aqui é dependência linear e construção de base.
Passo 2
Para testar dependência linear, procuramos coeficientes a,b,c não todos nulos tais que
mostrando que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Como \vec v_{3} é combinação de \vec v_{1} e \vec v_{2}, o subespaço gerado por \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} coincide com o gerado por \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Vamos verificar que \vec v_{1} e \vec v_{2} são independentes: se a\vec v_{1}+b\vec v_{2}=\vec0, então