Verificar se:
W=\{A \in M(2,2): \operatorname{det}(A)=1\} é subespaço de M(2,2);

Passo 1

O enunciado define
W = \{A \in M(2,2)\mid \det(A)=1\},
onde M(2,2) é o espaço vetorial de todas as matrizes 2\times2 sobre um corpo (por exemplo, \mathbb{R}). Para mostrar que W não é subespaço de M(2,2), basta verificar que ele falha em ao menos uma das três condições de subespaço: conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
pertence a W. Calculamos
\det(O)=0\neq1,
logo O\notin W. Como um subespaço deve conter o elemento neutro da adição (a matriz zero), W já falha nessa condição.

Passo 3

Mesmo sem essa verificação, podemos confirmar a falha na condição de fechamento sob soma. Tomemos por exemplo
A = I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = I.
Como \det(A)=1 e \det(B)=1, temos A,B\in W. Mas
A+B = 2I \quad\Longrightarrow\quad \det(A+B)=\det(2I)=2^2\det(I)=4\neq1,
logo A+B\notin W, ou seja, W não é fechado sob soma.

Passo 4

Também falta fechamento sob multiplicação por escalar. De fato, se escolhermos A=I\in W e um escalar \lambda\neq\pm1, então
\det(\lambda A)=\lambda^2\det(I)=\lambda^2\neq1,
portanto \lambda A\notin W.

Resposta

W não é subespaço de M(2,2), pois falha em conter a matriz zero e não é fechado nem na soma nem na multiplicação por escalar.

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