Verificar se: W=\{A \in M(2,2): \operatorname{det}(A)=1\} é subespaço de M(2,2);
Passo 1
O enunciado define
W = \{A \in M(2,2)\mid \det(A)=1\},
onde M(2,2) é o espaço vetorial de todas as matrizes 2\times2 sobre um corpo (por exemplo, \mathbb{R}). Para mostrar que W não é subespaço de M(2,2), basta verificar que ele falha em ao menos uma das três condições de subespaço: conter a matriz zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero
O = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
pertence a W. Calculamos
\det(O)=0\neq1,
logo O\notin W. Como um subespaço deve conter o elemento neutro da adição (a matriz zero), W já falha nessa condição.
Passo 3
Mesmo sem essa verificação, podemos confirmar a falha na condição de fechamento sob soma. Tomemos por exemplo
A = I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = I.