Verificar se:
W=\left\{p(t) \in \mathcal{P}_{2} ; p(1)=0\right\} é subespaço de \mathcal{P}_{2};

Passo 1

O enunciado define \r \displaystyle W=\{\,p(t)\in\mathcal{P}_{2}\mid p(1)=0\} \r
e pede para verificar se W é subespaço de \mathcal{P}_{2}. O conceito-chave é que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se, satisfaz: \r
  1. 0\in W. \r
  2. Fechamento sob adição: p,q\in W\implies p+q\in W. \r
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: p\in W,\alpha\in\mathbb{R}\implies \alpha p\in W.

Passo 2

Mostrar que o polinômio nulo está em W. \r
O polinômio zero é p(t)=0 para todo t, logo \r
\bigl(p(1)\bigr)=0. \r
Portanto, p\in W e W\neq\varnothing.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. \r
Sejam p,q\in W. Então \r
\begin{aligned}\r p(1)&=0,\\\ q(1)&=0.\r \end{aligned} \r
Logo\r
\bigl(p+q\bigr)(1)=p(1)+q(1)=0+0=0, \r
e daí p+q\in W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação escalar. \r
Seja p\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Como p(1)=0, temos \r
\bigl(\alpha\,p\bigr)(1)=\alpha\cdot p(1)=\alpha\cdot 0=0, \r
logo \alpha p\in W.

Resposta

Sim, W é subespaço de \mathcal{P}_{2}.

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