Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-3,1,-2),(5,-2,6)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(2,10,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(-3,1,-2),\,(5,-2,6)\}, \quad M=\operatorname{span}\{(2,10,1)\}.
Queremos o vetor \vec x\in H\cap M^{\perp} que tenha a forma \vec x=(-3,x_2,x_3) e, em particular, determinar x_3.

Passo 2

Como \vec x\in H, existem escalares a,b tais que
\vec x = a(-3,1,-2)+b(5,-2,6) =(-3a+5b,\;a-2b,\;-2a+6b).
Como o primeiro componente de \vec x deve ser -3, impomos
-3a+5b=-3.

Passo 3

Como \vec x\in M^{\perp}, tem-se \vec x\cdot(2,10,1)=0. Substituindo \vec x=(-3,x_2,x_3) com
x_2=a-2b,\quad x_3=-2a+6b,
obtém-se
2(-3)+10(a-2b)+(-2a+6b)=0 \;\Longrightarrow\; -6+10a-20b-2a+6b=0 \;\Longrightarrow\; 8a-14b=6 \;\Longrightarrow\; 4a-7b=3.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} -3a+5b=-3,\\\\ 4a-7b=3, \end{cases}
multiplica-se a primeira por 4 e a segunda por 3, soma-se para eliminar a, chegando a b=3. Substituindo de volta dá a=6.

Passo 5

Finalmente,
x_3 = -2a+6b = -2\cdot6 + 6\cdot3 = -12 + 18 = 6.

Resposta

6

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