Q17. A molécula de água consiste de um átomo oxigênio igado com dois átomos de hidrogénio. O ângulo entre as duas ligações é
. Se a distância entre cada átomo de hidrogênio e o átomo de oxigênio é de
, localize o centro de massa do sistema.
Passo 1
O enunciado pede que localizemos o centro de massa do sistema formado por três átomos: um átomo de oxigénio e dois átomos de hidrogénio. As informações dadas são:
Não foram dadas massas explícitas; para prosseguir vou usar as massas atómicas usuais aproximadas (unidades relativas) e assumir que podemos trabalhar com elas sem converter para quilogramas:
O objetivo concreto: encontrar a posição do centro de massa relativa ao átomo de oxigénio (isto é, a distância e direcção a partir de O).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples para aproveitar a simetria. Colocamos o átomo de oxigénio em:
Tomamos o eixo
ao longo da bissetriz do ângulo formado pelas duas ligações O–H, de modo que os dois átomos de hidrogénio fiquem simetricamente à direita e acima/abaixo do eixo
. Assim cada ligação faz um ângulo de metade de
com a bissetriz:
A distância O–H é
Passo 3
Recordando a definição de centro de massa: para partículas com massas
e posições
,
Aqui temos três partículas:
. Vou decompor em componentes
e
. As coordenadas do oxigénio são
. Devido à simetria do problema, esperamos que a componente
do centro de massa seja zero (as contribuições dos dois hidrogénios nas direcções
e
se anulam). Portanto basta calcular a componente
:
Passo 4
Calculamos as coordenadas dos hidrogénios em função de
e
. Para o hidrogénio superior (
):
Para o hidrogénio inferior (
):
Note que
pela simetria, o que simplifica a fórmula de
.
Passo 5
Substituímos na fórmula de
:
A componente
do centro de massa é
confirmando que o centro de massa está sobre o eixo
(a bissetriz), alinhado com a direcção que aponta dos átomos de oxigénio para os hidrogénios.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro
em metros e
:
Com
e
(unidades atómicas, que se cancelam na razão), obtemos
Calculando o numerador:
Dividindo por
:
Em unidades de nanómetro:
Passo 7
Interpretação física: o centro de massa está deslocado do oxigénio ao longo da bissetriz do ângulo em direcção aos hidrogénios, a uma pequena distância de
do átomo de oxigénio. Ou seja, muito próximo do oxigénio, porque o oxigénio é muito mais massivo que cada hidrogénio.