Q17. A molécula de água consiste de um átomo oxigênio igado com dois átomos de hidrogénio. O ângulo entre as duas ligações é 160^{\circ}. Se a distância entre cada átomo de hidrogênio e o átomo de oxigênio é de 0,100 \mathrm{~nm}\left(1 \mathrm{~nm}=1 \times 10^{-9} \mathrm{~m}\right), localize o centro de massa do sistema.

Passo 1

O enunciado pede que localizemos o centro de massa do sistema formado por três átomos: um átomo de oxigénio e dois átomos de hidrogénio. As informações dadas são:
\text{ângulo entre as duas ligações} = 160^\circ,âçõ
\text{distância O–H} = 0,100\\ \mathrm{nm} \; (1\\ \mathrm{nm}=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}).â
Não foram dadas massas explícitas; para prosseguir vou usar as massas atómicas usuais aproximadas (unidades relativas) e assumir que podemos trabalhar com elas sem converter para quilogramas:
m_H = 1 \quad(\text{unidade atómica}),ó
m_O = 16 \quad(\text{unidade atómica}).ó
O objetivo concreto: encontrar a posição do centro de massa relativa ao átomo de oxigénio (isto é, a distância e direcção a partir de O).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples para aproveitar a simetria. Colocamos o átomo de oxigénio em:
\vec r_O = (0,0).
Tomamos o eixo x ao longo da bissetriz do ângulo formado pelas duas ligações O–H, de modo que os dois átomos de hidrogénio fiquem simetricamente à direita e acima/abaixo do eixo x. Assim cada ligação faz um ângulo de metade de 160^\circ com a bissetriz:
\theta = \tfrac{160^\circ}{2} = 80^\circ.
A distância O–H é
r = 0,100\\ \mathrm{nm} = 1,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Recordando a definição de centro de massa: para partículas com massas m_i e posições \vec r_i,
\vec R_{CM}=\frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i}.
Aqui temos três partículas: i=O,H_1,H_2. Vou decompor em componentes x e y. As coordenadas do oxigénio são (0,0). Devido à simetria do problema, esperamos que a componente y do centro de massa seja zero (as contribuições dos dois hidrogénios nas direcções +y e -y se anulam). Portanto basta calcular a componente x:
X_{CM}=\frac{m_O x_O + m_H x_{H1} + m_H x_{H2}}{m_O+2m_H}.

Passo 4

Calculamos as coordenadas dos hidrogénios em função de r e \theta. Para o hidrogénio superior ( H_1 ):
x_{H1}=r\cos\theta,\qquad y_{H1}=r\sin\theta.
Para o hidrogénio inferior ( H_2 ):
x_{H2}=r\cos\theta,\qquad y_{H2}=-r\sin\theta.
Note que x_{H1}=x_{H2} pela simetria, o que simplifica a fórmula de X_{CM}.

Passo 5

Substituímos na fórmula de X_{CM}:
X_{CM}=\frac{m_O\cdot 0 + m_H(r\cos\theta) + m_H(r\cos\theta)}{m_O+2m_H} =\frac{2m_H r\cos\theta}{m_O+2m_H}.
A componente y do centro de massa é
Y_{CM}=\frac{m_O\cdot 0 + m_H(r\sin\theta) + m_H(-r\sin\theta)}{m_O+2m_H}=0,
confirmando que o centro de massa está sobre o eixo x (a bissetriz), alinhado com a direcção que aponta dos átomos de oxigénio para os hidrogénios.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro r em metros e \cos\theta:
r=1,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\qquad \cos80^\circ\approx 0,173648.
Com m_H=1 e m_O=16 (unidades atómicas, que se cancelam na razão), obtemos
X_{CM}=\frac{2\cdot 1\cdot (1,00\times10^{-10}\\ \mathrm{m})\cdot 0,173648}{16+2\cdot 1} =\frac{2\times1,00\times10^{-10}\times0,173648}{18}.
Calculando o numerador:
2\times1,00\times10^{-10}\times0,173648=3,4729636\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Dividindo por 18:
X_{CM}= \frac{3,4729636\times10^{-11}}{18}=1,9294242\times10^{-12}\\ \mathrm{m}.
Em unidades de nanómetro:
X_{CM}=0,0019294242\\ \mathrm{nm}\approx 1,93\times10^{-3}\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação física: o centro de massa está deslocado do oxigénio ao longo da bissetriz do ângulo em direcção aos hidrogénios, a uma pequena distância de 1,93\times10^{-12}\\ \mathrm{m} do átomo de oxigénio. Ou seja, muito próximo do oxigénio, porque o oxigénio é muito mais massivo que cada hidrogénio.

Resposta

X_{CM}=1,93\times10^{-12}\\ \mathrm{m} (ao longo da bissetriz do ângulo, na direcção dos hidrogénios)

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