Q18. Localize, aproveitando as simetrias da figura, o centro de massa de um triângulo equilátero homogêneo, cujo lado tem o comprimento a, um vértice no eixo dos y e os outros dois em (-a / 2,0) e (+a / 2,0), respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para localizar o centro de massa de um triângulo equilátero homogêneo com lado de comprimento a. A figura tem um vértice sobre o eixo y (no topo) e os outros dois vértices em (-a/2,0) e (+a/2,0) (na base, sobre o eixo x). Informações relevantes fornecidas:
  • O triângulo é homogêneo (densidade superficial constante).
  • Os vértices são (-a/2,0), (+a/2,0) e o vértice superior está em (0,h) (ainda precisamos achar h).
  • O lado do triângulo tem comprimento a.
    O que se pede:
  • Determinar as coordenadas do centro de massa (centroide) desse triângulo.

Passo 2

Usando simetria: a figura é simétrica em relação ao eixo y (reflexão x\mapsto -x troca os dois vértices da base). Por causa dessa simetria, o centro de massa não pode ficar deslocado para a esquerda nem para a direita: a coordenada x do centro de massa é
x_C=0.
Isso já reduz o problema a encontrar apenas a coordenada y_C.

Passo 3

Calcular a altura h do triângulo equilátero em função de a. Considere o triângulo formado pela altura, metade da base e o lado a: é um triângulo retângulo com catetos h e a/2 e hipotenusa a. Logo
h=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}} =\sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{4}} =\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.

Passo 4

Vamos achar y_C por integração (método das tiras horizontais). Expliquei por que uso este método: para uma lamina plana de densidade superficial constante, a coordenada vertical do centro de massa é dada por
y_C=\frac{1}{A}\iint_{\text{triângulo}} y\,dA,â
onde A é a área do triângulo e dA é o elemento de área. Aqui vou decompor o triângulo em tiras horizontais de espessura dy localizadas em altura y (com 0\le y\le h). Cada tira tem comprimento (largura) igual à largura do triângulo nessa altura.

Passo 5

Determinar a largura w(y) da tira na altura y. Em y=0 a largura é a; em y=h a largura é 0. A largura varia linearmente com y. Uma forma simples de ver isso é notar que a semi-largura direita x_{\text{dir}}(y) varia de a/2 (em y=0) até 0 (em y=h), portanto
x_{\text{dir}}(y)=\frac{a}{2}\left(1-\frac{y}{h}\right).
Assim a largura total é
w(y)=2x_{\text{dir}}(y)=a\left(1-\frac{y}{h}\right).
O elemento de área da tira é então
dA=w(y)\,dy=a\left(1-\frac{y}{h}\right)dy.

Passo 6

Calcular a área total A do triângulo para usar no denominador. A fórmula da área do triângulo é \text{base}\times\text{altura}/2, assim
A=\frac{a\cdot h}{2}.

Passo 7

Calcular o numerador da fórmula de y_C:
\iint y\,dA=\int_{0}^{h} y\cdot w(y)\,dy =\int_{0}^{h} y\;a\left(1-\frac{y}{h}\right)dy.
Fazendo a integral passo a passo:
\int_{0}^{h} a\left(y-\frac{y^{2}}{h}\right)dy =a\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3h}\right]_{0}^{h} =a\left(\frac{h^{2}}{2}-\frac{h^{2}}{3}\right) =a\left(\frac{h^{2}}{6}\right) =\frac{a h^{2}}{6}.

Passo 8

Agora calcule y_C dividindo o numerador pela área A:
y_C=\frac{\dfrac{a h^{2}}{6}}{\dfrac{a h}{2}} =\frac{a h^{2}}{6}\cdot\frac{2}{a h} =\frac{2h}{6} =\frac{h}{3}.
Portanto o centro de massa está a uma distância \dfrac{h}{3} acima da base (isto é, medido a partir de y=0).

Passo 9

Substituir h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a para obter a coordenada numérica em função de a:
y_C=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}\,a.
Já sabemos também que x_C=0 pela simetria.

Resposta

\left(0,\;\dfrac{\sqrt{3}}{6}\,a\right)

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