Q18. Localize, aproveitando as simetrias da figura, o centro de massa de um triângulo equilátero homogêneo, cujo lado tem o comprimento
, um vértice no eixo dos
e os outros dois em
e
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para localizar o centro de massa de um triângulo equilátero homogêneo com lado de comprimento
. A figura tem um vértice sobre o eixo
(no topo) e os outros dois vértices em
e
(na base, sobre o eixo
). Informações relevantes fornecidas:
- O triângulo é homogêneo (densidade superficial constante).
- Os vértices são
, e o vértice superior está em (ainda precisamos achar ). - O lado do triângulo tem comprimento
.
O que se pede: - Determinar as coordenadas do centro de massa (centroide) desse triângulo.
Passo 2
Usando simetria: a figura é simétrica em relação ao eixo
(reflexão
troca os dois vértices da base). Por causa dessa simetria, o centro de massa não pode ficar deslocado para a esquerda nem para a direita: a coordenada
do centro de massa é
Isso já reduz o problema a encontrar apenas a coordenada
.
Passo 3
Calcular a altura
do triângulo equilátero em função de
. Considere o triângulo formado pela altura, metade da base e o lado
: é um triângulo retângulo com catetos
e
e hipotenusa
. Logo
Passo 4
Vamos achar
por integração (método das tiras horizontais). Expliquei por que uso este método: para uma lamina plana de densidade superficial constante, a coordenada vertical do centro de massa é dada por
onde
é a área do triângulo e
é o elemento de área. Aqui vou decompor o triângulo em tiras horizontais de espessura
localizadas em altura
(com
). Cada tira tem comprimento (largura) igual à largura do triângulo nessa altura.
Passo 5
Determinar a largura
da tira na altura
. Em
a largura é
; em
a largura é
. A largura varia linearmente com
. Uma forma simples de ver isso é notar que a semi-largura direita
varia de
(em
) até
(em
), portanto
Assim a largura total é
O elemento de área da tira é então
Passo 6
Calcular a área total
do triângulo para usar no denominador. A fórmula da área do triângulo é
, assim
Passo 7
Calcular o numerador da fórmula de
:
Fazendo a integral passo a passo:
Passo 8
Agora calcule
dividindo o numerador pela área
:
Portanto o centro de massa está a uma distância
acima da base (isto é, medido a partir de
).
Passo 9
Substituir
para obter a coordenada numérica em função de
:
Já sabemos também que
pela simetria.