Q20. Uma massa m_{1}=0,400 \mathrm{~kg} tem posição \vec{r}_{1}=12,03 \hat{\mathrm{j}} \mathrm{cm}. A massa m_{2}=0,800 \mathrm{~kg} tem posição \vec{r}_{2}=-12,02 \hat{\mathrm{i}} cm . Outra massa m_{3}=0,800 \mathrm{~kg} tem posição \vec{r}_{3}=7 \hat{\mathrm{k}} \mathrm{cm}. Determine o centro de massa do sistema.

Passo 1

O enunciado dá três massas e suas posições (em centímetros) e pede o centro de massa do sistema. Informações fornecidas:
m_1 = 0,400\\ \mathrm{kg},\qquad \vec r_1 = 12,03\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{cm}
m_2 = 0,800\\ \mathrm{kg},\qquad \vec r_2 = -12,02\,\hat{\imath}\\ \mathrm{cm}
m_3 = 0,800\\ \mathrm{kg},\qquad \vec r_3 = 7,00\,\hat{k}\\ \mathrm{cm}
Pergunta: determinar o vetor posição do centro de massa \vec R_{CM} do sistema (em unidades de posição, aqui em cm).

Passo 2

Fórmula do centro de massa (explicando tudo):
\vec R_{CM}=\frac{1}{M}\sum_{i} m_i\vec r_i
onde:
  • M=\sum_i m_i é a massa total do sistema (somamos todas as massas);
  • m_i é a massa do i-ésimo ponto;
  • \vec r_i é o vetor posição do i-ésimo ponto;
  • o resultado \vec R_{CM} tem a mesma unidade espacial que as \vec r_i (a unidade massa cancela porque dividimos por M).
    Aqui vamos aplicar a soma componente a componente (x, y, z) porque as posições estão em direção \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.

Passo 3

Calcular a massa total:
M = m_1+m_2+m_3 = 0,400+0,800+0,800 = 2,000\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Identificar componentes das posições (em cm):
x_1=0,\quad y_1=12,03,\quad z_1=0,
x_2=-12,02,\quad y_2=0,\quad z_2=0,
x_3=0,\quad y_3=0,\quad z_3=7,00.
Agora calcular as somas ponderadas \sum m_i x_i,\\ \sum m_i y_i,\\ \sum m_i z_i.

Passo 5

Calcular a soma ponderada da componente x:
\sum m_i x_i = m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 = 0,400\cdot 0 + 0,800\cdot(-12,02) + 0,800\cdot 0 = -9,616\\ \text{kg}\cdot\text{cm}.

Passo 6

Calcular a soma ponderada da componente y:
\sum m_i y_i = 0,400\cdot 12,03 + 0,800\cdot 0 + 0,800\cdot 0 = 4,812\\ \text{kg}\cdot\text{cm}.

Passo 7

Calcular a soma ponderada da componente z:
\sum m_i z_i = 0,400\cdot 0 + 0,800\cdot 0 + 0,800\cdot 7,00 = 5,600\\ \text{kg}\cdot\text{cm}.

Passo 8

Dividir cada soma ponderada pela massa total para obter as componentes do centro de massa (o resultado fica em cm):
X_{CM}=\frac{\sum m_i x_i}{M}=\frac{-9,616}{2,000}=-4,808\\ \mathrm{cm},
Y_{CM}=\frac{\sum m_i y_i}{M}=\frac{4,812}{2,000}=2,406\\ \mathrm{cm},
Z_{CM}=\frac{\sum m_i z_i}{M}=\frac{5,600}{2,000}=2,800\\ \mathrm{cm}.
Observação rápida: as unidades funcionam porque \frac{\text{kg}\cdot\text{cm}}{\text{kg}}=\text{cm}.

Passo 9

Escrever o vetor posição do centro de massa reunindo as componentes:
\vec R_{CM} = -4,808\,\hat{\imath} + 2,406\,\hat{\jmath} + 2,800\,\hat{k}\\ \mathrm{cm}.

Resposta

\vec R_{CM} = -4,808\,\hat{\imath} + 2,406\,\hat{\jmath} + 2,800\,\hat{k}\\ \mathrm{cm}

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