Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}\right., -x_{1}-5 x_{2}-x_{3}-x_{4}, \quad-2 x_{1}-7 x_{2}-3 x_{3}-3 x_{4} ).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)=\bigl(x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4},\;-x_{1}-5x_{2}-x_{3}-x_{4},\;-2x_{1}-7x_{2}-3x_{3}-3x_{4}\bigr).
O que se pede é a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im}T)).\n
As informações relevantes fornecidas são os coeficientes das coordenadas de T:
  • primeira componente: coeficientes \;1,\,2,\,2,\,2;\n
  • segunda componente: coeficientes \;-1,\,-5,-1,-1;\n
  • terceira componente: coeficientes \;-2,-7,-3,-3.

Passo 2

Transformar o enunciado em uma matriz é o caminho direto: existe uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} tal que T(x)=A x. Os coeficientes das componentes aparecem como linhas de A. Assim,
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] -1 & -5 & -1 & -1\\[4pt] -2 & -7 & -3 & -3 \end{pmatrix}.
Explicação curta: multiplicando A pelo vetor coluna \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)^{T} obtém-se exatamente as três componentes dadas.]

Passo 3

Lembrete teórico (bem mastigado):
  • A imagem de T coincide com o espaço gerado pelas colunas de A (chamado de espaço coluna de A).
  • A dimensão da imagem de T é o posto (rank) de A, isto é, o número de colunas linearmente independentes de A.
  • Para calcular o posto de A com papel e caneta, usa-se eliminação por linhas (redução a forma escalonada por linha). O número de linhas não nulas na forma escalonada é igual ao posto.
Vou então aplicar eliminação por linhas em A e contar quantas linhas independentes restam.

Passo 4

Partimos de
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] -1 & -5 & -1 & -1\\[4pt] -2 & -7 & -3 & -3 \end{pmatrix}.
Fazer operações elementares por linha que não alteram o posto.
  1. \;R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}. Calculando entrada a entrada:
R_{2} = (-1, -5, -1, -1) + (1,2,2,2) = (0,-3,1,1).
  1. \;R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}. Calculando:
R_{3} = (-2,-7,-3,-3) + 2(1,2,2,2) = (-2+2,\,-7+4,\,-3+4,\,-3+4) = (0,-3,1,1).
Após essas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Subtrair R_{2} de R_{3}: \;R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}. Então
R_{3} = (0,-3,1,1) - (0,-3,1,1) = (0,0,0,0).
A forma escalonada alcançada é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora identifique os pivôs: um pivô na primeira linha (coluna 1) e outro pivô na segunda linha (coluna 2). Há exatamente duas linhas não nulas na forma escalonada.]

Passo 5

Conclusão do cálculo: o posto de A é 2. Portanto
\dim(\operatorname{Im}T)=2.
Interpretação rápida e motivadora: as três imagens das coordenadas não geram um espaço de dimensão 3 ou 4; na verdade só duas direções independentes aparecem — as outras são combinações dessas duas. Isso basta para a prova: responda com confiança!

Resposta

(C) 2

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