O que se pede é a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\operatorname{Im}T)).\n
As informações relevantes fornecidas são os coeficientes das coordenadas de T:
primeira componente: coeficientes \;1,\,2,\,2,\,2;\n
segunda componente: coeficientes \;-1,\,-5,-1,-1;\n
terceira componente: coeficientes \;-2,-7,-3,-3.
Passo 2
Transformar o enunciado em uma matriz é o caminho direto: existe uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times4} tal que T(x)=A x. Os coeficientes das componentes aparecem como linhas de A. Assim,
Explicação curta: multiplicando A pelo vetor coluna \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr)^{T} obtém-se exatamente as três componentes dadas.]
Passo 3
Lembrete teórico (bem mastigado):
A imagem de T coincide com o espaço gerado pelas colunas de A (chamado de espaço coluna de A).
A dimensão da imagem de T é o posto (rank) de A, isto é, o número de colunas linearmente independentes de A.
Para calcular o posto de A com papel e caneta, usa-se eliminação por linhas (redução a forma escalonada por linha). O número de linhas não nulas na forma escalonada é igual ao posto.
Vou então aplicar eliminação por linhas em A e contar quantas linhas independentes restam.
Agora identifique os pivôs: um pivô na primeira linha (coluna 1) e outro pivô na segunda linha (coluna 2). Há exatamente duas linhas não nulas na forma escalonada.]
Passo 5
Conclusão do cálculo: o posto de A é 2. Portanto
\dim(\operatorname{Im}T)=2.
Interpretação rápida e motivadora: as três imagens das coordenadas não geram um espaço de dimensão 3 ou 4; na verdade só duas direções independentes aparecem — as outras são combinações dessas duas. Isso basta para a prova: responda com confiança!