Q2 Considere o experimento de determinação do campo magnético terrestre usando uma bobina de Helmholtz e uma bússola em seu interior. Inicialmente, a corrente elétrica na bobina é zero. Explique com poucas palavras cada uma das questões abaixo.
a) Por que orientamos o campo da terra \mathbf{B}_{\text {T }} (direção da bússola) perpendicularmente ao eixo principal da bobina de Helmholtz ao realizar o experimento?
b) Por que năo medimos o único valor de \theta para determinar \mathrm{B}_{\mathrm{T}}

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que há uma bobina de Helmholtz com uma bússola no seu interior. Inicialmente a corrente na bobina é zero. São feitas duas perguntas curtas:
a) Por que orientamos o vetor campo da Terra \mathbf{B}_{\mathrm{T}} (direção indicada pela bússola) perpendicularmente ao eixo principal da bobina de Helmholtz antes de ligar a corrente?
b) Por que não medimos apenas um único valor de \theta (desvio da bússola) para determinar \mathrm{B}_{\mathrm{T}}?\n
Informações relevantes dadas ou implícitas: a bobina de Helmholtz produz um campo magnético praticamente uniforme no seu centro ao longo do eixo da bobina; a bússola alinha-se com o campo resultante \mathbf{B}_{\mathrm{res}}=\mathbf{B}_{\mathrm{T}}+\mathbf{B}_{\mathrm{c}} onde \mathbf{B}_{\mathrm{c}} é o campo da bobina; podemos variar a corrente I na bobina e assim variar \mathbf{B}_{\mathrm{c}}.

Passo 2

O que é o campo da bobina e como calculá‑lo (mini‑aula): a bobina de Helmholtz é um par de bobinas iguais, separadas por uma distância igual ao seu raio R, enroladas com N espiras e percorridas por corrente I. No centro, o campo gerado pelas duas bobinas é quase uniforme e vale (fórmula padrão):
B_{\mathrm{c}}=\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_{0} N I}{R}.
Expliquei cada símbolo: \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}), N é o número de espiras por bobina, I é a corrente e R é o raio das bobinas. Essa expressão permite calcular o módulo de \mathbf{B}_{\mathrm{c}} a partir de I e da geometria da bobina — informação que usamos depois para relacionar I, o desvio \theta e \mathrm{B}_{\mathrm{T}}.

Passo 3

Por que colocamos \mathbf{B}_{\mathrm{T}} perpendicular ao eixo da bobina (resposta detalhada e didática): quando a bobina está com o seu eixo em uma direção dada, o campo que ela cria em seu centro aponta ao longo desse eixo. Se orientarmos o eixo da bobina perpendicular à direção inicial da bússola (ou seja, perpendicular a \mathbf{B}_{\mathrm{T}}), então os dois campos relevantes no plano horizontal são perpendiculares entre si: \mathbf{B}_{\mathrm{T}} numa direção e \mathbf{B}_{\mathrm{c}} na direção ortogonal. Isso tem três vantagens práticas e conceituais:
  • simplifica a geometria vetorial: a soma vetorial forma um triângulo retângulo no plano horizontal, de modo que a trigonometria simples (lei da tangente) dá a relação entre as magnitudes;
  • a bússola, quando a corrente é zero, aponta ao longo de \mathbf{B}_{\mathrm{T}}, e ao ligar a corrente ela gira numa direção única até alinhar com a resultante — assim medimos um ângulo \theta facilmente interpretável;
  • o campo da bobina é mais uniforme ao longo do eixo, então colocar a bússola no centro (sobre o eixo) dá uma leitura estável e reprodutível.
    Derivação do relacionamento (passo‑a‑passo): posicionando eixos x (direção do campo da bobina) e y (direção de \mathbf{B}_{\mathrm{T}}), as componentes do campo resultante são B_{x}=B_{\mathrm{c}} e B_{y}=B_{\mathrm{T}}. A bússola aponta na direção do vetor resultante e o ângulo \theta entre a direção original \mathbf{B}_{\mathrm{T}} e a resultante satisfaz
\tan\theta=\frac{B_{x}}{B_{y}}=\frac{B_{\mathrm{c}}}{B_{\mathrm{T}}}.
Esta relação simples é possível porque escolhemos a configuração perpendicular.

Passo 4

Por que não usar um único valor de \theta (explicação didática, com sugestão experimental): matematicamente, isolando \mathrm{B}_{\mathrm{T}} da equação acima dá
B_{\mathrm{T}}=\frac{B_{\mathrm{c}}}{\tan\theta}.
Em princípio um único par de medidas (I,\theta) e o conhecimento de B_{\mathrm{c}}(I) (pela fórmula da bobina) permitem calcular B_{\mathrm{T}}. Na prática isso é ruim por vários motivos:
  • erros de medida: qualquer incerteza em \theta ou em I (logo em B_{\mathrm{c}}) afeta fortemente B_{\mathrm{T}}. Em particular, para \theta pequeno a função \tan\theta é sensível ao erro, amplificando imprecisões;
  • erros sistemáticos: imprecisão na localização da bússola, atrito do pivô, desalinhamento do eixo, não uniformidade do campo, ou componente vertical do campo terrestre podem distorcer uma única leitura;
  • verificação e linearização: como B_{\mathrm{c}} é proporcional a I (pela fórmula do passo 2) podemos escrever
\tan\theta=\frac{B_{\mathrm{c}}}{B_{\mathrm{T}}}= \frac{k I}{B_{\mathrm{T}}},
onde k=\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_{0} N}{R}. Assim, fazendo várias medidas de \theta para diferentes I e traçando \tan\theta vs. I obtemos uma reta cuja inclinação é k/B_{\mathrm{T}}. Ajustando por mínimos quadrados (ou fazendo uma média dos valores de B_{\mathrm{T}} calculados) reduzimos erros aleatórios e detectamos sistemáticos. Em resumo: várias medidas tornam o resultado confiável e quantificável em incerteza.

Passo 5

Resumo prático rápido e dicas para a prova (passo‑a‑passo mental): quando resolver numa prova, mostre a derivação vetorial curta que leva a \tan\theta=B_{\mathrm{c}}/B_{\mathrm{T}}, escreva a expressão de B_{\mathrm{c}} em função de I (use a constante geométrica k se pedirem), e explique por que é melhor fazer várias leituras e ajustar uma reta para obter B_{\mathrm{T}}. Se pedirem justificativa curta para a orientação perpendicular, diga que ela transforma a soma vetorial numa relação trigonométrica simples (lei da tangente).

Resposta

(a) Porque assim o campo da bobina \mathbf{B}_{\mathrm{c}} fica perpendicular a \mathbf{B}_{\mathrm{T}}, o que torna a soma vetorial simples e dá a relação \tan\theta=B_{\mathrm{c}}/B_{\mathrm{T}}, facilitando a medida.
(b) Porque uma única medida de \theta é muito sensível a erros (em \theta, em I, desalinhamentos etc.); é melhor variar I, medir vários \theta e usar a relação \tan\theta=(kI)/B_{\mathrm{T}} para obter B_{\mathrm{T}} com maior precisão (ajuste linear ou média).

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