Q4. Encontre a solução geral de
.
Passo 1
Resumindo o problema: a gente tem a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
o conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução homogênea (resolvendo a parte com zero no lado direito) e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a homogênea, consideramos
Montamos a equação característica
ou seja, raiz dupla
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora vamos à solução particular. O termo forçante é
, que coincide com a raiz
de multiplicidade 2 do homogêneo. Então o palpite precisa multiplicar por
:
Passo 4
Precisamos de
e
. Calculando:
Substituindo em
e fatorando
, obtemos
que simplifica para
. Daí
e
.
Passo 5
Juntando tudo, a solução geral da EDO é a soma de
com
: