Q4. Encontre a solução geral de y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^2 x.

Passo 1

Resumindo o problema: a gente tem a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'+4y=e^2x,
o conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução homogênea (resolvendo a parte com zero no lado direito) e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a homogênea, consideramos
y''-4y'+4y=0
Montamos a equação característica
r^2-4r+4=0Longrightarrow(r-2)^2=0,
ou seja, raiz dupla r=2. Logo a solução geral homogênea é
yh=(C1+C2x)e^2x

Passo 3

Agora vamos à solução particular. O termo forçante é e^2x, que coincide com a raiz r=2 de multiplicidade 2 do homogêneo. Então o palpite precisa multiplicar por x^2:
yp=A x^2e^2x

Passo 4

Precisamos de yp' e yp''. Calculando:
yp'=2A e^2x(x+x^2),
yp''=2A e^2x(1+4x+2x^2)
Substituindo em y''-4y'+4y=e^2x e fatorando e^2x, obtemos
2A e^2x-8A e^2xx-8A e^2xx^2+4A e^2xx^2=e^2x
que simplifica para 2A e^2x=e^2x. Daí 2A=1 e A=tfrac12.

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral da EDO é a soma de yh com yp:
y=(C1+C2x)e^2x+12x^2e^2x

Resposta

y=(C1+C2x)e^2x+tfrac12x^2e^2x

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