Q4 Usa o teste de comparacao no limite para determinar se a serie
sumn=1^infty 5 n+1(n+2)^2
converge?

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty5n+1(n+2)^2
usando o teste de comparação no limite. Vamos identificar o termo geral an=5n+1(n+2)^2, escolher uma série de referência bn já conhecida e aplicar o teste.

Passo 2

Para n grande,
5n+1(n+2)^2sim5nn^2=5,1n
Então faz sentido comparar com a série harmônica sum bn onde
bn=1n
O teste de comparação no limite diz que se
L=limntoinftyanbn
existe e satisfaz 0< L<infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).

Passo 3

Calculemos
L=limntoinftyanbn =limntoinfty5n+1(n+2)^21n =limntoinftyn(5n+1)(n+2)^2
O numerador é de grau 2 com coeficiente líder 5 e o denominador é de grau 2 com coeficiente líder 1. Logo
L=5

Passo 4

Como L=5in(0,infty), pelo teste de comparação no limite a série
sumn=1^infty5n+1(n+2)^2
tem o mesmo comportamento da série harmônica sum 1/n. E a harmônica diverge. Portanto a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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