Tarefa - Investigue
Qual é a equação matemática que representa a definição de corpo rígido? Apresente e demonstre essa equação.
Definição de corpo rígido
Um corpo rígido é um objeto idealizado que não sofre deformação quando submetido à ação de forças.

Passo 1

O enunciado diz que um corpo rígido é um conjunto de partículas que não se deforma sob ação de forças. Em termos matemáticos, isso significa que a distância entre quaisquer dois pontos materialmente ligados ao corpo permanece constante ao longo do tempo. Para formular isso, vamos chamar de \mathbf{r}_P(t) e \mathbf{r}_Q(t) os vetores posição, no espaço, de dois pontos P e Q do corpo rígido no instante t.

Passo 2

A condição de rigidez exige que a norma da diferença de posição seja constante, isto é,
\bigl\|\mathbf{r}_P(t)-\mathbf{r}_Q(t)\bigr\| = \text{constante}
Equivalente é dizer que o quadrado dessa norma não muda com o tempo:
\bigl(\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q\bigr)\cdot\bigl(\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q\bigr) = C,
onde C é um número fixo.

Passo 3

Para descobrir a condição cinemática de rigidez, diferenciamos em relação a t:
\frac{d}{dt}\Bigl[(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q)\cdot(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q)\Bigr] = 0.
Pelo produto escalar e a regra da cadeia, isso dá
2\,(\dot{\mathbf{r}}_P-\dot{\mathbf{r}}_Q)\cdot(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q) = 0,
ou seja,
(\mathbf{v}_P - \mathbf{v}_Q)\cdot(\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q) = 0,
onde \mathbf{v}_P=\dot{\mathbf{r}}_P e \mathbf{v}_Q=\dot{\mathbf{r}}_Q.

Passo 4

A equação
(\mathbf{v}_P - \mathbf{v}_Q)\cdot(\mathbf{r}_P - \mathbf{r}_Q) = 0
é a forma geral da condição de corpo rígido: a componente da velocidade relativa ao longo da linha que une P e Q deve ser nula, garantindo distância fixa.

Passo 5

No limite diferencial, tomando Q infinitesimalmente próximo de P, escrevemos \mathbf{r}_Q = \mathbf{r}_P + d\mathbf{r} e \mathbf{v}_Q = \mathbf{v}_P + (\nabla\mathbf{v})\,d\mathbf{r}. A condição
(\mathbf{v}_Q - \mathbf{v}_P)\cdot(\mathbf{r}_Q - \mathbf{r}_P)=0
torna-se
(d\mathbf{r})^\mathsf{T}\bigl[\nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^\mathsf{T}\bigr]\,d\mathbf{r} = 0 \quad\forall\,d\mathbf{r},
o que implica
\nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^\mathsf{T} = \mathbf{0}.
Isso diz que o tensor de taxa de deformação (parte simétrica do gradiente de velocidade) é nulo, e o campo de velocidades é portanto puramente rotacional.

Resposta

A definição de corpo rígido pode ser expressa pela família de equações equivalentes:
\frac{d}{dt}\bigl\|\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q\bigr\|^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (\mathbf{v}_P-\mathbf{v}_Q)\cdot(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^\mathsf{T} = \mathbf{0}.

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