Q5. Encontre a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos (
) achar a solução geral da equação homogênea associada e (
) encontrar uma solução particular usando a substituição
.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
temos a equação característica
isto é,
com raiz dupla
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a particular, fazemos a ansatz
Calculando as derivadas e aplicando o operador linear, obtém-se
Então a equação fica
Passo 4
Integramos duas vezes em
:
Os termos com
e
geram funções que já pertencem a
, então podemos tomar
. Assim
e
Passo 5
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: