Q5. Encontre a solução geral de y^prime prime-4 y^prime+4 y=x e^2 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 4y = x e^2x
Para resolver, vamos ( 1) achar a solução geral da equação homogênea associada e ( 2) encontrar uma solução particular usando a substituição yp = e^2xu(x).

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' - 4y' + 4y = 0
temos a equação característica
r^2 - 4r + 4 = 0,
isto é, (r-2)^2=0 com raiz dupla r=2. Logo a solução homogênea é
yh = l(C1 + C2 xr)e^2x

Passo 3

Para a particular, fazemos a ansatz
yp = e^2xu(x)
Calculando as derivadas e aplicando o operador linear, obtém-se
L[yp] = yp'' - 4yp' + 4yp = e^2x,u''(x)
Então a equação fica
e^2xu''(x) = x e^2x Longrightarrow u''(x) = x

Passo 4

Integramos duas vezes em x:
u'(x) = integral x,dx = x^22 + K1, u(x) = integrall(x^22+K1r)dx = x^36 + K1x + K2
Os termos com K1 e K2 geram funções que já pertencem a yh, então podemos tomar K1=K2=0. Assim
u(x) = x^36,
e
yp = e^2x,x^36 = x^36e^2x

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = l(C1 + C2 xr)e^2x + x^36e^2x

Resposta

y(x) = l(C1 + C2 xr)e^2x + x^36e^2x

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