Q4. Esfera homogênea: \rho(r)=\rho_{0} para r \leq R. Usando a forma radial acima, encontre (i) g(r) e (ii) \Phi(r) para r \leq R e para r \geq R, impondo continuidade apropriada e \Phi(\infty)=0. Dica: escreva M_{\text {int }}(r)=\int_{0}^{r} 4 \pi r^{\prime 2} \rho_{0} d r^{\prime} e relacione g(r) a M_{\text {int }}(r).
Passo 1
O enunciado dá uma esfera homogênea de densidade constante para r\le R:
Densidade: \rho(r)=\rho_{0} para r\le R. Para r>R não há massa (vácuo).
Dica: usar M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho_{0}\,dr^{\prime} e relacionar g(r) a M_{\text{int}}(r).
O que pede:
(i) encontrar g(r) para r\le R e para r\ge R;
(ii) encontrar \Phi(r) para r\le R e para r\ge R,
impondo que \Phi(\infty)=0 e continuidade apropriada em r=R.
Passo 2
Calcular a massa interna até uma esfera de raio r (pegando a informação da dica). A massa contida em 0\le r'\le r é
M \equiv M_{\text{int}}(R)=\frac{4}{3}\pi \rho_{0} R^{3}.
Passo 3
Explicar a relação entre g(r) e M_{\text{int}}(r) (a ideia física por trás): pela lei de Newton (ou pelo teorema da casca esférica), a aceleração gravitacional radial em módulo é dada pela massa interna dividida por r^{2} vezes G. Tomando o sinal para que g(r) seja a componente radial (positiva para fora), a relação vetorial é \mathbf{g}=-\nabla\Phi e, em coordenada radial,
g(r) = -\frac{G\,M_{\text{int}}(r)}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional e M_{\text{int}}(r) é a massa dentro de raio r. Note: esse sinal negativo indica que a aceleração aponta para dentro (em sentido contrário ao vetor radial unitário).
Passo 4
Aplicar a fórmula para g(r) dentro e fora da esfera, usando M_{\text{int}}(r) calculado.
Para r\le R (só a massa interna até r contribui):
g(r) = -\frac{G\,M_{\text{int}}(r)}{r^{2}} = -\frac{G}{r^{2}}\left(\frac{4}{3}\pi \rho_{0} r^{3}\right) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, r.
Ou, em termos de M e R, usando \dfrac{4}{3}\pi\rho_{0} = \dfrac{M}{R^{3}}:
g(r) = -\frac{G M}{R^{3}}\, r \qquad (r\le R).
Para r\ge R (toda a massa M atua como se concentrada no centro):