Q4. Esfera homogênea: \rho(r)=\rho_{0} para r \leq R. Usando a forma radial acima, encontre (i) g(r) e (ii) \Phi(r) para r \leq R e para r \geq R, impondo continuidade apropriada e \Phi(\infty)=0. Dica: escreva M_{\text {int }}(r)=\int_{0}^{r} 4 \pi r^{\prime 2} \rho_{0} d r^{\prime} e relacione g(r) a M_{\text {int }}(r).

Passo 1

O enunciado dá uma esfera homogênea de densidade constante para r\le R:
  • Densidade: \rho(r)=\rho_{0} para r\le R. Para r>R não há massa (vácuo).
  • Dica: usar M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho_{0}\,dr^{\prime} e relacionar g(r) a M_{\text{int}}(r).
O que pede:
(i) encontrar g(r) para r\le R e para r\ge R;
(ii) encontrar \Phi(r) para r\le R e para r\ge R,
impondo que \Phi(\infty)=0 e continuidade apropriada em r=R.

Passo 2

Calcular a massa interna até uma esfera de raio r (pegando a informação da dica). A massa contida em 0\le r'\le r é
M_{\text{int}}(r)=\int_{0}^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho_{0}\,dr^{\prime}.
Esta integral é elementar: integrar r^{\prime 2} r^{\prime 3}/3. Logo
M_{\text{int}}(r)=4\pi \rho_{0}\left[\frac{r^{\prime 3}}{3}\right]_{0}^{r}=\frac{4}{3}\pi \rho_{0} r^{3}.
Para r\ge R a massa total da esfera é então
M \equiv M_{\text{int}}(R)=\frac{4}{3}\pi \rho_{0} R^{3}.

Passo 3

Explicar a relação entre g(r) e M_{\text{int}}(r) (a ideia física por trás): pela lei de Newton (ou pelo teorema da casca esférica), a aceleração gravitacional radial em módulo é dada pela massa interna dividida por r^{2} vezes G. Tomando o sinal para que g(r) seja a componente radial (positiva para fora), a relação vetorial é \mathbf{g}=-\nabla\Phi e, em coordenada radial,
g(r) = -\frac{G\,M_{\text{int}}(r)}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional e M_{\text{int}}(r) é a massa dentro de raio r. Note: esse sinal negativo indica que a aceleração aponta para dentro (em sentido contrário ao vetor radial unitário).

Passo 4

Aplicar a fórmula para g(r) dentro e fora da esfera, usando M_{\text{int}}(r) calculado.
Para r\le R (só a massa interna até r contribui):
g(r) = -\frac{G\,M_{\text{int}}(r)}{r^{2}} = -\frac{G}{r^{2}}\left(\frac{4}{3}\pi \rho_{0} r^{3}\right) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, r.
Ou, em termos de M e R, usando \dfrac{4}{3}\pi\rho_{0} = \dfrac{M}{R^{3}}:
g(r) = -\frac{G M}{R^{3}}\, r \qquad (r\le R).
Para r\ge R (toda a massa M atua como se concentrada no centro):
g(r) = -\frac{G M}{r^{2}} = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\,\frac{R^{3}}{r^{2}} \qquad (r\ge R).

Passo 5

Relacionar g(r) à potencial \Phi(r). A relação é
\mathbf{g} = -\nabla\Phi \quad\Rightarrow\quad g(r)=-\frac{d\Phi}{dr},
onde g(r) é a componente radial (com sinal). Assim
\frac{d\Phi}{dr} = -g(r).
Vamos integrar essa equação em cada região e usar condições de contorno.

Passo 6

Potencial no exterior r\ge R. Aqui g(r)=-GM/r^{2}. Então
\frac{d\Phi}{dr} = -g(r) = \frac{GM}{r^{2}}.
Integrando em r (constante de integração C_{\infty}):
\Phi(r)=\int \frac{GM}{r^{2}}\,dr = -\frac{GM}{r}+C_{\infty}.
Impor \Phi(\infty)=0 força C_{\infty}=0. Portanto
\Phi(r) = -\frac{GM}{r}\qquad (r\ge R).
Em termos de \rho_{0}:
\Phi(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\,\frac{R^{3}}{r}\qquad (r\ge R).

Passo 7

Potencial no interior r\le R. Aqui g(r) = -\dfrac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, r. Então
\frac{d\Phi}{dr} = -g(r) = \frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, r.
Integrando:
\Phi(r)=\int \frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, r\, dr = \frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\,\frac{r^{2}}{2} + C = \frac{2}{3}\pi G \rho_{0}\, r^{2} + C,
onde C é uma constante a determinar. Impor continuidade do potencial em r=R: \Phi_{\text{inside}}(R)=\Phi_{\text{outside}}(R)=-GM/R. Assim
\frac{2}{3}\pi G \rho_{0}\, R^{2} + C = -\frac{GM}{R}.
Substituindo M=\dfrac{4}{3}\pi \rho_{0} R^{3} -\dfrac{GM}{R}=-\dfrac{4}{3}\pi G \rho_{0} R^{2}. Portanto
\frac{2}{3}\pi G \rho_{0}\, R^{2} + C = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, R^{2},
de onde
C = -2\pi G \rho_{0}\, R^{2}.
Logo o potencial interior é
\Phi(r)=\frac{2}{3}\pi G \rho_{0}\, r^{2} - 2\pi G \rho_{0}\, R^{2}.
É útil reescrever numa forma mais padrão. Agrupando:
\Phi(r) = -\frac{2}{3}\pi G \rho_{0}\,(3R^{2}-r^{2}).
Em termos de M e R, usando \dfrac{4}{3}\pi\rho_{0}=\dfrac{M}{R^{3}}, obtém-se a forma comum
\Phi(r) = -\frac{G M}{2R^{3}}(3R^{2}-r^{2}) = -\frac{G M}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)\qquad (r\le R).

Passo 8

Verificações rápidas (coisas que sempre pedem na prova, e que dão confiança):
  • Continuidade em r=R: usar as fórmulas de \Phi interior e exterior em r=R dá o mesmo -GM/R.
  • Comportamento no centro r\to 0: \Phi(0) = -2\pi G \rho_{0} R^{2} (finito), e g(0)=0 como esperado.
  • Limite exterior r\to\infty: \Phi\to 0 e g\to 0 conforme imposto.

Resposta

(i) g(r)=\begin{cases} -\dfrac{4}{3}\pi G \rho_{0}\, r = -\dfrac{G M}{R^{3}}\, r, & r\le R,\\[6pt] -\dfrac{4}{3}\pi G \rho_{0}\,\dfrac{R^{3}}{r^{2}} = -\dfrac{G M}{r^{2}}, & r\ge R, \end{cases}
(ii) \Phi(r)=\begin{cases} -\dfrac{2}{3}\pi G \rho_{0}\,(3R^{2}-r^{2}) = -\dfrac{G M}{2R}\!\left(3-\dfrac{r^{2}}{R^{2}}\right), & r\le R,\\[6pt] -\dfrac{4}{3}\pi G \rho_{0}\,\dfrac{R^{3}}{r} = -\dfrac{G M}{r}, & r\ge R. \end{cases}

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