Q3. (2,0 pontos) Determine a massa
e as coordenadas
do centro de massa de um arame com formato helicoidal, descrito pela curva paramétrica
Admita que a densidade linear em cada ponto do arame é igual ao quadrado da distância do ponto à origem.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um arame paramétrico em forma de hélice
e a densidade linear em cada ponto é igual ao quadrado da distância até a origem, ou seja
O que queremos achar é a massa
e o centro de massa
Para isso vamos precisar de:
- calcular
e , - expressar
em função de , - montar e calcular as integrais de linha,
- usar integração por partes quando necessário.
Passo 2
- Primeiro,
, então
Logo
- A densidade é
- A massa é
Calculemos
então
Passo 3
Agora
.
O numerador é
O numerador é
Separamos:
-
- Para
, usamos partes:
u =, dv =
, du= .
Então
Avaliando de 0 a
dá
.
Logo .
Então o numerador de é
e
Logo
Então o numerador de
Passo 4
De modo análogo,
com
-
-
por partes (u= , dv= ) dá .
Entãoe
Passo 5
Por fim,
onde
Então
Resposta
m =
$\displaystyle\bar x=-\frac{9\pi}{1+3\pi^2},\quad
\bar y=\frac{9}{1+3\pi^2},\quad
\bar z=\frac{3\pi(2+9\pi2)}{2(1+3\pi2)},. $
\bar y=\frac{9}{1+3\pi^2},\quad
\bar z=\frac{3\pi(2+9\pi2)}{2(1+3\pi2)},. $