Q3. (2,0 pontos) Determine a massa m e as coordenadas (barx, bary, barz) do centro de massa de um arame com formato helicoidal, descrito pela curva paramétrica
x(t)=2 sin (t), y(t)=2 cos (t), z(t)=3 t, para 0 <= t <= 2 pi
Admita que a densidade linear em cada ponto do arame é igual ao quadrado da distância do ponto à origem.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um arame paramétrico em forma de hélice
x(t)=2sin t, y(t)=2cos t, z(t)=3t, 0<= t<=2pi,
e a densidade linear em cada ponto é igual ao quadrado da distância até a origem, ou seja
lambda(t)=x^2+y^2+z^2
O que queremos achar é a massa
m=integralClambda,ds
e o centro de massa
bar x=1mintegralC x,lambda,ds, bar y=1mintegralC y,lambda,ds, bar z=1mintegralC z,lambda,ds
Para isso vamos precisar de:
  1. calcular r'(t) e ds=|r'(t)|,dt,
  2. expressar lambda(t) em função de t,
  3. montar e calcular as integrais de linha,
  4. usar integração por partes quando necessário.

Passo 2

  1. Primeiro, r(t)=(2sin t,,2cos t,,3t), então
r'(t)=(2cos t,,-2sin t,,3), |r'(t)|=raiz(2cos t)^2+(-2sin t)^2+3^2=raiz4+9=raiz13
Logo
ds=raiz13,dt
  1. A densidade é
lambda(t)=x^2+y^2+z^2 =4sin^2t+4cos^2t+9t^2 =4+9t^2
  1. A massa é
m=integral0^2pilambda(t),ds =integral0^2pi(4+9t^2),raiz13,dt =raiz13integral0^2pi(4+9t^2),dt
Calculemos
integral0^2pi4,dt=8pi, integral0^2pi9t^2,dt =9cdot(2pi)^33=24pi^3,
então
m=raiz13,(8pi+24pi^3) =8pi(1+3pi^2),raiz13

Passo 3

Agora ,bar x=1mintegral0^2pix(t),lambda(t),ds,.
O numerador é
integral0^2pi2sin t,(4+9t^2),raiz13,dt =raiz13integral0^2pi2sin t,(4+9t^2),dt
Separamos:
Ix=integral0^2pi2sin t,(4+9t^2),dt =8integral0^2pisin t,dt +18integral0^2pit^2sin t,dt
  • integral0^2pisin t,dt=0
  • Para integral0^2pit^2sin t,dt, usamos partes:
    u = t^2, dv = sin t,dt
    Rightarrow v=-cos t, du= 2t,dt.
    Então
integral t^2sin t,dt =-t^2cos t+integral2tcos t,dt =-t^2cos t+2l(tsin t-integralsin t,dtr) =-t^2cos t+2tsin t+2cos t
Avaliando de 0 a 2pi -4pi^2.
Logo Ix=18cdot(-4pi^2)=-72pi^2.
Então o numerador de bar x é -72pi^2raiz13 e
bar x =-72pi^2raiz13m =-72pi^2raiz138pi(1+3pi^2)raiz13 =-9pi1+3pi^2

Passo 4

De modo análogo,
bar y =1mintegral0^2pi2cos t,(4+9t^2),raiz13,dt =raiz13mIy,
com
Iy =8integral0^2picos t,dt +18integral0^2pit^2cos t,dt
  • integral0^2picos t,dt=0
  • integral0^2pit^2cos t,dt por partes (u= t^2, dv= cos t,dt) dá 4pi.
    Então Iy=18cdot4pi=72pi e
bar y =72piraiz138pi(1+3pi^2)raiz13 =91+3pi^2

Passo 5

Por fim,
bar z =1mintegral0^2pi3t,(4+9t^2),raiz13,dt =raiz13mIz,
onde
Iz=integral0^2pi(12t+27t^3),dt =12cdot(2pi)^22+27cdot(2pi)^44 =24pi^2+108pi^4
Então
bar z =(24pi^2+108pi^4)raiz138pi(1+3pi^2)raiz13 =24pi^2+108pi^48pi(1+3pi^2) =3pi(2+9pi^2)2(1+3pi^2)

Resposta

m =
$\displaystyle\bar x=-\frac{9\pi}{1+3\pi^2},\quad
\bar y=\frac{9}{1+3\pi^2},\quad
\bar z=\frac{3\pi(2+9\pi2)}{2(1+3\pi2)},. $

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