Q5 Usa o teste da razao para determinar se a serie
sumn=1^infty n!(5 n+1)!
converge?

Passo 1

A série em questão é sumn=1^inftyn!(5n+1)!. O conteúdo é teste de convergência de séries pelo critério da razão e vamos precisar da definição de an e do limite L=limntoinftyl|an+1/anr|.

Passo 2

Vamos chamar an=n!(5n+1)!. Pelo teste da razão, precisamos calcular an+1 e montar an+1an.

Passo 3

Primeiro, escrevemos an+1 em função de n:
an+1=(n+1)!(5(n+1)+1)!=(n+1)!(5n+6)!
Agora a razão:
an+1an=(n+1)!(5n+6)!cdot(5n+1)!n!

Passo 4

Em seguida simplificamos a razão usando
(5n+6)!=(5n+6)(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)!
Assim:
an+1an=n+1(5n+6)(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)

Passo 5

Para fechar, calculamos o limite quando ntoinfty:
L=limntoinftyn+1(5n+6)(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)=0<1
Pelo critério da razão, se L<1 a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados