3^a Questão: (20 pontos) Considere o sistema linear:
3 x1+x2-x3 & =3 -2 x1+4 x2+2 x3 & =-10 -2 x1-3 x2+5 x3 & =7
Verifique se o critério de SASSENFELD é satisfeito. Se sim, resolva o sistema pelo método de Gauss-SEIDEL com 4 iterações.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas. O conteúdo é critério de Sassenfeld e método de Gauss-Seidel. Primeiro, vamos verificar se o critério de Sassenfeld é satisfeito para garantir que o método converge. Se estiver ok, a gente monta as fórmulas iterativas do Gauss-Seidel e faz 4 iterações, usando o chute inicial x^(0) = (0,0,0).
O sistema é:
3x1 + x2 - x3 = 3, -2x1 + 4x2 + 2x3 = -10, -2x1 - 3x2 + 5x3 = 7

Passo 2

Para aplicar o critério de Sassenfeld, a gente calcula os coeficientes betai com a fórmula:
betai = 1|aii| sumj neq i |aij| betaj
Fazendo na prática:
beta1 = |1| + |(-1)||3| = 1 + 13 = 23 approx 0.6667,
beta2 = |(-2)| cdot 0.6667 + |2||4| = 2 cdot 0.6667 + 24 = 3.33344 approx 0.8333,
beta3 = |(-2)| cdot 0.6667 + |(-3)| cdot 0.8333|5| = 2 cdot 0.6667 + 3 cdot 0.83335 = 3.83345 approx 0.7667

Passo 3

Como o maior valor entre beta1, beta2, beta3 é cerca de 0.8333, que é menor que 1, o critério de Sassenfeld está satisfeito. Isso garante que o método de Gauss-Seidel vai convergir.

Passo 4

Agora, vamos montar as fórmulas iterativas do Gauss-Seidel isolando cada variável em cada equação:
x1 = 3 - x2 + x33,
x2 = -10 + 2x1 - 2x34,
x3 = 7 + 2x1 + 3x25

Passo 5

Vamos começar as iterações com o chute inicial x^(0) = (0,0,0).
Iteração 1:
x1^(1) = 3 - 0 + 03 = 1,
x2^(1) = -10 + 2 cdot 1 - 2 cdot 04 = -84 = -2,
x3^(1) = 7 + 2 cdot 1 + 3 cdot (-2)5 = 7 + 2 - 65 = 35 = 0.6
Iteração 2:
x1^(2) = 3 - (-2) + 0.63 = 5.63 approx 1.8667,
x2^(2) = -10 + 2 cdot 1.8667 - 2 cdot 0.64 = -7.46664 approx -1.8667,
x3^(2) = 7 + 2 cdot 1.8667 + 3 cdot (-1.8667)5 = 5.13335 approx 1.0267

Passo 6

Iteração 3:
x1^(3) = 3 - (-1.8667) + 1.02673 = 5.89343 approx 1.9645,
x2^(3) = -10 + 2 cdot 1.9645 - 2 cdot 1.02674 = -8.12444 approx -2.0311,
x3^(3) = 7 + 2 cdot 1.9645 + 3 cdot (-2.0311)5 = 4.83575 approx 0.9671
Iteração 4:
x1^(4) = 3 - (-2.0311) + 0.96713 = 5.99823 approx 1.9994,
x2^(4) = -10 + 2 cdot 1.9994 - 2 cdot 0.96714 = -7.93544 approx -1.9839,
x3^(4) = 7 + 2 cdot 1.9994 + 3 cdot (-1.9839)5 = 5.04745 approx 1.0095

Resposta

Aproximação após 4 iterações: x^(4) approx (1.9994,,-1.9839,,1.0095).

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