Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-2)=(1,-3,1) e T(2,-5)=(2,-5,3).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece dois valores:
  • T(1,-2)=(1,-3,1).
  • T(2,-5)=(2,-5,3).
O que pedem: determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, especificamente, informar o valor da entrada a_{12} da matriz A.
Lista curta de dados relevantes:
  • A matriz A é 3\times2 (transforma vetores de dimensão 2 em dimensão 3).
  • Conhecemos as imagens pelos vetores (1,-2) e (2,-5).
  • Precisamos apenas de a_{12}, ou seja, o elemento da primeira linha e segunda coluna de A.

Passo 2

Ideia usada (explicação didática): para uma transformação linear T representada por uma matriz A, as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica. Seja
A=\begin{pmatrix} \;v_1\; & \;v_2\; \end{pmatrix},
onde v_1=T(1,0) é a primeira coluna e v_2=T(0,1) é a segunda coluna. Então, para qualquer (x,y),
T(x,y)=x\,v_1+y\,v_2.
Usando isso nos dados fornecidos:
T(1,-2)=1\cdot v_1+(-2)\cdot v_2=v_1-2v_2=(1,-3,1),
T(2,-5)=2\cdot v_1+(-5)\cdot v_2=2v_1-5v_2=(2,-5,3).
Essas duas equações vetoriais vão permitir determinar v_1 e v_2.

Passo 3

Escrevendo as colunas por componentes: seja
v_1=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}d\e\f\end{pmatrix}.
As equações vetoriais dão, componente a componente,
primeira componente:
a-2d=1,\qquad 2a-5d=2.
segunda componente:
b-2e=-3,\qquad 2b-5e=-5.
terceira componente:
c-2f=1,\qquad 2c-5f=3.

Passo 4

Resolver o sistema para a primeira componente (a,d).
Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos 2a-4d=2.
Subtraindo essa equação da segunda:
(2a-5d)-(2a-4d)=-d=2-2=0 \quad\Rightarrow\quad d=0.
Substituindo d=0 em a-2d=1
a=1.

Passo 5

Resolver para a segunda componente (b,e).
Multiplicando b-2e=-3 por 2 2b-4e=-6.
Subtraindo dessa a equação 2b-5e=-5:
(2b-5e)-(2b-4e)=-e=-5-(-6)=1 \quad\Rightarrow\quad e=-1.
Substituindo e=-1 em b-2e=-3:
b-2(-1)=-3 \quad\Rightarrow\quad b+2=-3 \quad\Rightarrow\quad b=-5.

Passo 6

Resolver para a terceira componente (c,f).
Multiplicando c-2f=1 por 2 2c-4f=2.
Subtraindo dessa a equação 2c-5f=3:
(2c-5f)-(2c-4f)=-f=3-2=1 \quad\Rightarrow\quad f=-1.
Substituindo f=-1 em c-2f=1:
c-2(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad c+2=1 \quad\Rightarrow\quad c=-1.

Passo 7

Agora temos as colunas:
v_1=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ -1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}d\e\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}.
Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] -5 & -1\\[4pt] -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

A entrada a_{12} é o elemento da primeira linha e segunda coluna de A. Da matriz encontrada,
a_{12}=0.

Resposta

(F) 0

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