Q4. Teorema da casca esférica. Uma casca esférica fina de raio
tem massa total
.
Mostre que o campo no interior
é nulo.
Mostre que o campo no interior
Passo 1
O enunciado nos dá uma casca esférica fina com raio
e massa total
. Pergunta: mostrar que o campo gravitacional (ou análogo eletrostático, se preferir) no interior, isto é para pontos com
onde
é a distância ao centro, é nulo. Informações relevantes dadas:
- casca esférica fina, raio
; - massa total da casca
; - queremos o campo para
.
Passo 2
Entender a ferramenta que vamos usar — o que é o campo de uma massa puntiforme e como a simetria ajuda.
Definição básica: o campo gravitacional produzido por uma massa puntiforme
situada na origem é dado por
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa puntiforme, -
é o vetor posição do ponto onde se avalia o campo, -
é a distância ao ponto massa, -
é o versor radial (direção do ponto a partir da origem), - o sinal negativo indica que o campo aponta para a massa (direção centrípeta).
Agora uma observação sobre simetria: se a distribuição de massa é esfericamente simétrica (isto é, uniforme sobre uma superfície esférica), então o campo resultante em qualquer ponto depende apenas da distância radial
ao centro e aponta radialmente. Em outras palavras, num ponto qualquer, o campo só pode ter componente radial e a mesma magnitude para todos os pontos situados a mesma distância
do centro. Isto decorre do fato de que qualquer rotação que deixe a distribuição de massa inalterada deve também deixar o campo inalterado; a única forma disso ocorrer é campo radial com módulo função de
.
Passo 3
Introduzir a lei de Gauss (fluxo) para o campo gravitacional e justificar por que ela vale aqui.
Considere uma esfera imaginária (superfície fechada) centrada no centro da casca, de raio
. O fluxo do campo gravitacional através dessa superfície é definido por
. Para uma massa puntiforme
no centro, usando a expressão do campo puntiforme, o fluxo através de uma esfera de raio
é
Note que o resultado é independente do raio
. Pela linearidade do campo (superposição) e pelo fato de que o fluxo só “conta” a massa que está dentro da superfície, obtemos a forma geral da lei de Gauss para gravitação:
onde
é a massa total contida no interior da superfície fechada
. Esta é uma relação válida sempre que o campo obedece à lei inverso-quadrado (como aqui) e que se pode aplicar a superposição.
Passo 4
Aplicar a lei de Gauss ao nosso problema e usar a simetria para concluir o valor do campo.
Escolha
como a esfera de raio
centrada no mesmo centro da casca, com
. A casca é fina e toda a massa
está localizada na superfície de raio
, portanto dentro da esfera de raio
não há massa. Logo
Pela lei de Gauss:
Pela simetria (explicada no Passo 2) o campo em todo ponto da superfície
deve ser radial e ter a mesma magnitude
. O elemento de área
tem direção radial para uma superfície esférica centrada no mesmo ponto, então
(incluindo o sinal; aqui
será considerado o componente radial com sinal). Assim o fluxo fica
Como esse fluxo é zero, segue que
Portanto o campo vetorial é nulo em todos os pontos com
:
Passo 5
Comentário intuitivo (opcional, para fixar a ideia): se quiser imaginar sem Gauss, pense que para um ponto dentro da casca cada pequena parcela de massa tem outra parcela em posição oposta cuja contribuição se cancela justamente — somando todas as parcelas a resultante é zero. A simetria esférica garante esse cancelamento perfeito.