Q4. Teorema da casca esférica. Uma casca esférica fina de raio R tem massa total M.
Mostre que o campo no interior (r<R) é nulo.

Passo 1

O enunciado nos dá uma casca esférica fina com raio R e massa total M. Pergunta: mostrar que o campo gravitacional (ou análogo eletrostático, se preferir) no interior, isto é para pontos com r<R onde r é a distância ao centro, é nulo. Informações relevantes dadas:
  • casca esférica fina, raio R;
  • massa total da casca M;
  • queremos o campo para r<R.

Passo 2

Entender a ferramenta que vamos usar — o que é o campo de uma massa puntiforme e como a simetria ajuda.
Definição básica: o campo gravitacional produzido por uma massa puntiforme m situada na origem é dado por
\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -G\,m\,\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • m é a massa puntiforme,
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde se avalia o campo,
  • r=\|\mathbf{r}\| é a distância ao ponto massa,
  • \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor radial (direção do ponto a partir da origem),
  • o sinal negativo indica que o campo aponta para a massa (direção centrípeta).
Agora uma observação sobre simetria: se a distribuição de massa é esfericamente simétrica (isto é, uniforme sobre uma superfície esférica), então o campo resultante em qualquer ponto depende apenas da distância radial r ao centro e aponta radialmente. Em outras palavras, num ponto qualquer, o campo só pode ter componente radial e a mesma magnitude para todos os pontos situados a mesma distância r do centro. Isto decorre do fato de que qualquer rotação que deixe a distribuição de massa inalterada deve também deixar o campo inalterado; a única forma disso ocorrer é campo radial com módulo função de r.

Passo 3

Introduzir a lei de Gauss (fluxo) para o campo gravitacional e justificar por que ela vale aqui.
Considere uma esfera imaginária (superfície fechada) centrada no centro da casca, de raio r. O fluxo do campo gravitacional através dessa superfície é definido por \oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A}. Para uma massa puntiforme m no centro, usando a expressão do campo puntiforme, o fluxo através de uma esfera de raio r é
\oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = \left(-G\,m\,\frac{1}{r^{2}}\right)\cdot 4\pi r^{2} = -4\pi G m.
Note que o resultado é independente do raio r. Pela linearidade do campo (superposição) e pelo fato de que o fluxo só “conta” a massa que está dentro da superfície, obtemos a forma geral da lei de Gauss para gravitação:
\oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G M_{\mathrm{enc}},
onde M_{\mathrm{enc}} é a massa total contida no interior da superfície fechada S. Esta é uma relação válida sempre que o campo obedece à lei inverso-quadrado (como aqui) e que se pode aplicar a superposição.

Passo 4

Aplicar a lei de Gauss ao nosso problema e usar a simetria para concluir o valor do campo.
Escolha S como a esfera de raio r centrada no mesmo centro da casca, com r<R. A casca é fina e toda a massa M está localizada na superfície de raio R, portanto dentro da esfera de raio r não há massa. Logo
M_{\mathrm{enc}}=0.
Pela lei de Gauss:
\oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = -4\pi G \cdot 0 = 0.
Pela simetria (explicada no Passo 2) o campo em todo ponto da superfície S deve ser radial e ter a mesma magnitude g(r). O elemento de área d\mathbf{A} tem direção radial para uma superfície esférica centrada no mesmo ponto, então \mathbf{g}\cdot d\mathbf{A}=g(r)\,dA (incluindo o sinal; aqui g(r) será considerado o componente radial com sinal). Assim o fluxo fica
\oint_{S}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} = g(r)\,\oint_{S} dA = g(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Como esse fluxo é zero, segue que
g(r)\cdot 4\pi r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad g(r)=0.
Portanto o campo vetorial é nulo em todos os pontos com r<R:
\mathbf{g}(\mathbf{r})=\mathbf{0}\quad\text{para }r<R.

Passo 5

Comentário intuitivo (opcional, para fixar a ideia): se quiser imaginar sem Gauss, pense que para um ponto dentro da casca cada pequena parcela de massa tem outra parcela em posição oposta cuja contribuição se cancela justamente — somando todas as parcelas a resultante é zero. A simetria esférica garante esse cancelamento perfeito.

Resposta

\mathbf{g}(\mathbf{r})=\mathbf{0} para r<R.

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