Q6 Usa o teste da raiz para determinar se a serie
sumn=1^infty n^44^n
converge?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty n^44^n
usando o teste da raiz. O conteúdo é séries numéricas e, em particular, o teste da raiz, que exige calcular
L = limntoinfty raiz[n]l|anr|
e compará-lo com 1.

Passo 2

O teste da raiz afirma que, para an real, se
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|,
então:
- se L<1, a série sum an converge absolutamente;
- se L>1, diverge;
- se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui an = n^44^n. Vamos computar
raiz[n]|an| = raiz[n]n^44^n = n^4/n4
Note que
n^4/n = e^4ln nn e limntoinfty4ln nn = 0,
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limntoinftyn^4/n = e^0 = 1
Portanto
L = limntoinftyn^4/n4 = 14

Passo 4

Como L = tfrac14 < 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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