Q5.31 Quando uma bola de beisebol se move com arraste do ar, percorre uma distância horizontal maior quando ela sobe até a altura máxima de sua trajetória ou quando desce da altura máxima até o solo? Ou essa distância é igual nos dois casos? Explique em termos das forças que atuam sobre a bola.
Passo 1
O enunciado pergunta em que trecho, na subida até a altura máxima ou na descida desde essa altura até o solo, a bola percorre maior distância horizontal, quando existe arraste do ar. O conteúdo é dinâmica de projétil com força de arraste e vamos precisar analisar como essa força afeta as componentes horizontal e vertical da velocidade e o tempo em cada trecho.
Passo 2
A força de arraste do ar costuma modelar-se por
onde
depende de propriedades do ar e da bola,
é o módulo da velocidade e
seu versor. Essa força sempre se opõe ao movimento e, portanto, em cada instante desacelera as componentes
e
.
Passo 3
Com arraste, a componente horizontal da velocidade
decresce continuamente, pois
Já na vertical, ao subir o arraste soma-se ao peso, dando desaceleração maior que
, e ao descer o arraste aponta para cima, reduzindo a aceleração efetiva para menos que
. Ou seja:
– Subida: aceleração vertical para baixo é ,
– Descida: aceleração vertical para baixo é .
– Subida: aceleração vertical para baixo é
– Descida: aceleração vertical para baixo é
Passo 4
Como a desaceleração vertical na descida é menor que na subida, o tempo que a bola leva para descer desde o topo até o solo é maior que o tempo que levou para subir até o topo. Denotando por
o tempo de subida e por
o de descida, temos
Passo 5
O deslocamento horizontal em cada trecho é
Em toda a descida a velocidade horizontal
continua positiva, mas (i) ela diminui mais lentamente na descida do que na subida (porque
é menor e o arraste atua com menor intensidade) e (ii) o tempo disponível
é maior. Logo a área sob a curva
no trecho de descida é maior que na subida.
Resposta
A distância horizontal percorrida na descida é maior do que na subida, devido ao tempo de descida maior e à desaceleração horizontal menos intensa nessa fase.