Q5.31 Quando uma bola de beisebol se move com arraste do ar, percorre uma distância horizontal maior quando ela sobe até a altura máxima de sua trajetória ou quando desce da altura máxima até o solo? Ou essa distância é igual nos dois casos? Explique em termos das forças que atuam sobre a bola.

Passo 1

O enunciado pergunta em que trecho, na subida até a altura máxima ou na descida desde essa altura até o solo, a bola percorre maior distância horizontal, quando existe arraste do ar. O conteúdo é dinâmica de projétil com força de arraste e vamos precisar analisar como essa força afeta as componentes horizontal e vertical da velocidade e o tempo em cada trecho.

Passo 2

A força de arraste do ar costuma modelar-se por
Fd = -k,v^2,hat v,
onde k>0 depende de propriedades do ar e da bola, v é o módulo da velocidade e hat v seu versor. Essa força sempre se opõe ao movimento e, portanto, em cada instante desacelera as componentes vx e vy.

Passo 3

Com arraste, a componente horizontal da velocidade vx decresce continuamente, pois
mdvxdt = -k,v,vx<0
Já na vertical, ao subir o arraste soma-se ao peso, dando desaceleração maior que g, e ao descer o arraste aponta para cima, reduzindo a aceleração efetiva para menos que g. Ou seja:
– Subida: aceleração vertical para baixo é g + (k/m),v,|vy|,
– Descida: aceleração vertical para baixo é g - (k/m),v,|vy|.

Passo 4

Como a desaceleração vertical na descida é menor que na subida, o tempo que a bola leva para descer desde o topo até o solo é maior que o tempo que levou para subir até o topo. Denotando por tuparrow o tempo de subida e por tdownarrow o de descida, temos
tdownarrow > tuparrow

Passo 5

O deslocamento horizontal em cada trecho é
xuparrow = integral0^tuparrowvx(t),dt, xdownarrow = integraltuparrow^,tuparrow + tdownarrowvx(t),dt
Em toda a descida a velocidade horizontal vx continua positiva, mas (i) ela diminui mais lentamente na descida do que na subida (porque v é menor e o arraste atua com menor intensidade) e (ii) o tempo disponível tdownarrow é maior. Logo a área sob a curva vx(t) no trecho de descida é maior que na subida.

Resposta

A distância horizontal percorrida na descida é maior do que na subida, devido ao tempo de descida maior e à desaceleração horizontal menos intensa nessa fase.

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