Q6: Com a decomposição de Cholesky da matriz A da Questão 5, encontre a segunda coluna da inversa de A.

Passo 1

Beleza, aqui queremos usar a decomposição de Cholesky da matriz A (que veio na Questão 5) para encontrar só a segunda coluna de A⁻¹.
Conteúdo: Álgebra linear – inversa de matriz simétrica e positiva definida usando Cholesky.
O que vamos precisar:
  1. Saber que a segunda coluna de A⁻¹ é a solução x do sistema A·x = e₂, onde e₂ = (0,1,0,…,0)ᵀ.
  2. A decomposição de Cholesky A = Rᵀ·R (ou L·Lᵀ), com R triangular superior.

Passo 2

Lembrete teórico:
Se A = RᵀR, então para achar x tal que A·x = e₂ basta:
  1. Resolver Rᵀ·y = e₂ (substituição “para a frente”).
  2. Resolver R·x = y (substituição “para trás”).
    No fim, esse x é exatamente a segunda coluna de A⁻¹.

Passo 3

Vamos montar o sistema com base em R:
Supondo que da Questão 5 você tenha
R = r11 & r12 & r13 0 & r22 & r23 0 & 0 & r33 ,
então e₂ = (0,1,0)ᵀ.
  1. Rᵀ·y = e₂ vira

[
r11 & 0 & 0 r12 & r22& 0 r13 & r23& r33 y1y2y3 = 010

.
]
Resolvendo em ordem y₁ → y₂ → y₃:
  • r₁₁·y₁ = 0 ⇒ y₁ = 0
  • r₁₂·y₁ + r₂₂·y₂ = 1 ⇒ r₂₂·y₂ = 1 ⇒ y₂ = 1/r₂₂
  • r₁₃·y₁ + r₂₃·y₂ + r₃₃·y₃ = 0 ⇒ r₂₃·(1/r₂₂) + r₃₃·y₃ = 0 ⇒ y₃ = –(r₂₃/(r₂₂·r₃₃)).

Passo 4

Agora resolvemos R·x = y:
[
r11 & r12 & r13 0 & r22 & r23 0 & 0 & r33 x1x2x3 = 01/r22-,r23/(r22r33)

.
]
Resolvendo por trás (x₃→x₂→x₁):
  • r₃₃·x₃ = –r₂₃/(r₂₂·r₃₃) ⇒ x₃ = –r₂₃/(r₂₂·r₃₃²)
  • r₂₂·x₂ + r₂₃·x₃ = 1/r₂₂ ⇒ r₂₂·x₂ = 1/r₂₂ – r₂₃·(–r₂₃/(r₂₂·r₃₃²))
    ⇒ x₂ = 1/r₂₂² + r₂₃²/(r₂₂²·r₃₃²)
  • r₁₁·x₁ + r₁₂·x₂ + r₁₃·x₃ = 0 ⇒
    x₁ = –[r₁₂·x₂ + r₁₃·x₃] / r₁₁.

Resposta

A segunda coluna de A⁻¹ é o vetor
x = -dfracr12,x2 + r13,x3r11 [6pt] dfrac1r22^2 + dfracr23^2r22^2,r33^2 [6pt] -dfracr23r22,r33^2 ,
onde os vêm da Cholesky da Questão 5.

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