Q4: Resolva o sistema linear pelo método de decomposição , com pivotação parcial, onde . Identifique c3 1 10 5 e a solução L, U, P.
Passo 1
Tranquilo, vamos resumir o que o exercício pede. A ideia é resolver o sistema linear
A x = b
usando decomposição com pivotação parcial. O que precisamos:
Encontrar a matriz de permutação que faz os melhores pivôs.
Extrair as matrizes (lower triangular com 1 na diagonal) e (upper triangular).
Depois usar para resolver (substituição direta) e em seguida (substituição reversa).
Passo 2
Primeiro passo da eliminação (coluna 1):
Procuramos o maior valor em módulo na coluna 1, linhas 1–4 de ell21 = 15, ell31 = -2.55, ell41 = -1.255 . É o que está na linha 2.
Então permutamos a linha 1 com a linha 2. Essa troca define a primeira permutação .
Em (que começa igual a ), agora a primeira linha é .
Calculamos os multiplicadores
Subtraímos de cada linha o múltiplo linha 1 para zerar abaixo do pivô.
Passo 3
Segundo passo de eliminação (coluna 2):
Agora olhamos as linhas 2–4, coluna 2 de ell32 = U322.0, ell42 = U422.0 atualizado. Os pivôs candidatos são . Pegamos o primeiro maior em módulo, que é da linha 3.
Trocamos linha 2 com linha 3 em e fazemos a mesma troca nas linhas já preenchidas de . (Isso é a segunda permutação .)
O novo pivô é . Calculamos
e zeramos abaixo dele nas linhas 3 e 4.
Passo 4
Terceiro passo de eliminação (coluna 3):
Olhando as linhas 3–4 em ell43 = U43-1.0 , temos pivôs candidatos . Ambos têm módulo 1, então não trocamos (pivô fica em linha 3).
Pivô é . Calculamos
e zeramos a entrada abaixo na linha 4. Depois disso está triangular superior completa.