Q4: Resolva o sistema linear A x=b pelo método de decomposição P A=L U, com pivotação parcial, onde cccc1 & 1,2 & -1,9 & 3,4 5 & 1 & -2, & 2 -2,5 & 1,5 & 0, & 3 -1,25 & 1,75 & 0,5 & 6,5. Identifique c3 1 10 5 e a solução L, U, P.

Passo 1

Tranquilo, vamos resumir o que o exercício pede. A ideia é resolver o sistema linear
A x = b
usando decomposição com pivotação parcial. O que precisamos:
  • Encontrar a matriz de permutação que faz os melhores pivôs.
  • Extrair as matrizes (lower triangular com 1 na diagonal) e (upper triangular).
  • Depois usar para resolver (substituição direta) e em seguida (substituição reversa).

Passo 2

Primeiro passo da eliminação (coluna 1):
  1. Procuramos o maior valor em módulo na coluna 1, linhas 1–4 de ell21 = 15, ell31 = -2.55, ell41 = -1.255 . É o que está na linha 2.
  2. Então permutamos a linha 1 com a linha 2. Essa troca define a primeira permutação .
  3. Em (que começa igual a ), agora a primeira linha é .
  4. Calculamos os multiplicadores
  1. Subtraímos de cada linha o múltiplo linha 1 para zerar abaixo do pivô.

Passo 3

Segundo passo de eliminação (coluna 2):
  1. Agora olhamos as linhas 2–4, coluna 2 de ell32 = U322.0, ell42 = U422.0 atualizado. Os pivôs candidatos são . Pegamos o primeiro maior em módulo, que é da linha 3.
  2. Trocamos linha 2 com linha 3 em e fazemos a mesma troca nas linhas já preenchidas de . (Isso é a segunda permutação .)
  3. O novo pivô é . Calculamos
e zeramos abaixo dele nas linhas 3 e 4.

Passo 4

Terceiro passo de eliminação (coluna 3):
  1. Olhando as linhas 3–4 em ell43 = U43-1.0 , temos pivôs candidatos . Ambos têm módulo 1, então não trocamos (pivô fica em linha 3).
  2. Pivô é . Calculamos
e zeramos a entrada abaixo na linha 4. Depois disso está triangular superior completa.

Passo 5

Agora construímos as matrizes finais P ;=; 0&1&0&0 0&0&1&0 1&0&0&0 0&0&0&1 , L ;=; 1 & 0 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 & 0 0.2 & 0.5 & 1 & 0 -0.25 & 1 & -1 & 1 , U ;=; 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 4 :

Passo 6

Resolvendo Pb = 0&1&0&00&0&1&01&0&0&00&0&0&1 31105 = 11035 :
[
Pb =
y1 = 1, -0.5,y1 + y2 = 10 ;Rightarrow; y2=10.5, 0.2,y1 + 0.5,y2 + y3 = 3 ;Rightarrow; y3=-2.45, -0.25,y1 +1,y2 -1,y3 + y4 =5 ;Rightarrow; y4=-7.7

.
]
Agora a substituição direta:

Passo 7

Resolvendo 4,x4 = y4 = -7.7 ;Rightarrow; x4 = -1.925, -1,x3 + 1,x4 = y3 = -2.45 ;Rightarrow; x3 = 0.525, 2,x2 -1,x3 + 4,x4 = y2 = 10.5 ;Rightarrow; x2 = 9.3625, 5,x1 +1,x2 -2,x3 +2,x4 = y1 =1 ;Rightarrow; x1 = -0.6925 por substituição reversa:

Resposta

P = 0&1&0&00&0&1&01&0&0&00&0&0&1 ,
L = 1 & 0 & 0 & 0 -0.5 & 1 & 0 & 0 0.2 & 0.5 & 1 & 0 -0.25 & 1 & -1 & 1 ,
U = 5 & 1 & -2 & 2 0 & 2 & -1 & 4 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & 4 ,
e solução .

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