Q5: Dada a matriz A e o vetor cccc9 & 3 & 6 & -3 3 & 5 & 0 & -1 6 & 0 & 30 & 8 -3 & -1 & 8 & 69 resolva o sistema linear c9 5 -50 103 através da Decomposição de Cholesky.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos: o enunciado pede para resolver o sistema
A x = b,
onde
A = 9 & 3 & 6 & -3 3 & 5 & 0 & -1 6 & 0 & 30 & 8 -3 & -1 & 8 & 69 ,, b = 95-50103,
usando a Decomposição de Cholesky.
Conteúdo da matéria:
  • Matrizes simétricas e definidas positivas.
  • Decomposição , com triangular inferior.
  • Substituição para resolver (para achar ) e depois (para achar ).
O que vamos precisar:
  1. Confirmar que é simétrica definida positiva (já está garantido no enunciado).
  2. Calcular passo a passo os elementos de .
  3. Fazer a substituição direta (forward) em .
  4. Fazer a substituição retroativa (back) em .

Passo 2

Vamos montar lii = raiz,aii - sumk=1^i-1 lik^2,, lij = 1ljjl(aij - sumk=1^j-1 lik,ljkr) (i>j) elemento a elemento, usando as fórmulas
L = 3 & 0 & 0 & 0 1 & 2 & 0 & 0 2 & -1 & 5 & 0 -1 & 0 & 2 & 8
  1. .
Então

Passo 3

Agora resolvemos y = 31-1116 por substituição direta:
Logo,

Passo 4

Agora resolvemos por substituição retroativa:

Resposta

x = 4 -1 -3 2

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