Q8. A distribuição de velocidades, para um escoamento bidimensional de fluido incompressível, é dada por: \mathrm{u}_{\mathrm{x}}=-\mathrm{x} /\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right) e \mathrm{u}_{\mathrm{y}}=-\mathrm{y} /\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right). Demonstre que satisfaz a equação da continuidade.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento bidimensional incompressível com componentes de velocidade
u_x = -\frac{x}{x^2+y^2}
e
u_y = -\frac{y}{x^2+y^2}
e pede para mostrar que satisfaz a equação da continuidade, ou seja, que
\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0.

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial u_x}{\partial x}. Escrevendo
u_x = -\,x\,(x^2+y^2)^{-1},
aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{\partial u_x}{\partial x} = -\Bigl[(x^2+y^2)^{-1} + x\cdot(-1)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x\Bigr] = -\frac{x^2+y^2 - 2x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 3

De modo análogo, para \displaystyle \frac{\partial u_y}{\partial y} temos
u_y = -\,y\,(x^2+y^2)^{-1},
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\frac{\partial u_y}{\partial y} = -\Bigl[(x^2+y^2)^{-1} + y\cdot(-1)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2y\Bigr] = -\frac{x^2+y^2 - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Somando as duas derivadas,
\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} = 0.
Isso mostra que o campo de velocidades é divergência nula e, portanto, satisfaz a equação da continuidade.

Resposta

O escoamento satisfaz
\frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0,
isto é, a equação da continuidade.

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