Talcule \iint \_\mathrm{R}(3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}) \mathrm{dA}, onde \mathrm{R}=[0,2] \times[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\displaystyle \iint_{\mathrm{R}}(3x-2y)\,\mathrm{d}A
sobre o retângulo \mathrm{R}=[0,2]\times[-1,1].
O conteúdo envolve usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e, em seguida, calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, integramos em y mantendo x fixo:
\int_{-1}^{1}(3x-2y)\,dy =3x\int_{-1}^{1}dy \;-\;2\int_{-1}^{1}y\,dy =3x\,(2)\;-\;2\,(0) =6x.

Passo 3

Agora, integramos o resultado em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}6x\,dx =6\int_{0}^{2}x\,dx =6\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} =6\cdot\frac{4}{2} =12.

Resposta

12

Exercícios relacionados