QQuestão 4. ( 2,5 pontos). Um balão de borracha de raio R está carregado com carga uniforme de intensidade Q. (a) Calcule o yalor da energia potencial eletrostática contida no campo elétrico. (b) Supondo que o balão explode, convertendo toda a energia potencial do item anterior em energia cinética, fragmentando o balão em 20 pedaços de mesma massa m, determíne a velocidade terminal de cada fragmento.

Passo 1

O enunciado diz que temos um balão de borracha de raio R carregado com carga uniforme total Q. No item (a) precisamos achar a energia potencial eletrostática armazenada no campo criado por essa distribuição contínua de carga. No item (b) essa energia é completamente convertida em energia cinética quando o balão explode, fragmentando-se em 20 pedaços de massa m cada; aí calculamos a velocidade de cada fragmento usando conservação de energia.

Passo 2

Para um sistema de carga contínua, a energia eletrostática pode ser obtida por
W = \tfrac12 \int \rho(\mathbf r)\,V(\mathbf r)\,d^3r,
onde \rho é a densidade volumétrica de carga e V o potencial devido à própria distribuição. No nosso caso,
\rho = \frac{Q}{\tfrac43\pi R^3} = \frac{3Q}{4\pi R^3},
e, dentro de uma esfera uniformemente carregada, o potencial a uma distância r\le R do centro é
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{2R}\Bigl(3 - \tfrac{r^2}{R^2}\Bigr).

Passo 3

Substituindo em
W = \tfrac12 \int_{0}^{R}\rho\,V(r)\,4\pi r^2\,dr
e calculando a integral, chega-se ao resultado conhecido
W = \frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R} \;\Longrightarrow\; W = \frac{3\,Q^2}{20\pi\varepsilon_0\,R}.

Passo 4

No estouro, toda essa energia W vira energia cinética de 20 pedaços iguais de massa m. Pela conservação de energia:
W = 20\cdot\tfrac12\,m\,v^2 \;\Longrightarrow\; \frac{3\,Q^2}{20\pi\varepsilon_0\,R} = 10\,m\,v^2.

Passo 5

Isolando v:
v^2 = \frac{1}{10\,m}\,\frac{3\,Q^2}{20\pi\varepsilon_0\,R} = \frac{3\,Q^2}{200\pi\varepsilon_0\,R\,m},
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v = \sqrt{\frac{3\,Q^2}{200\pi\varepsilon_0\,R\,m}}.

Resposta

(a) \displaystyle W = \frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R} = \frac{3\,Q^2}{20\pi\varepsilon_0\,R}.
(b) \displaystyle v = \sqrt{\frac{3\,Q^2}{200\pi\varepsilon_0\,R\,m}}.

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