Questão 2 ( 2,5 pontos) Considere um cilindro sólido infinito de raio
e densidade volumétrica de carga não-uniforme
em que
é a densidade no eixo do cilindro. Calcule (a) a carga elétrica por unidade de comprimento do cilindro e o campo elétrico produzido em (b)
e (c)
. (d) Faça um esboço do campo elétrico em função da distância radial. Considere
.
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro sólido infinito de raio
com densidade volumétrica de carga não-uniforme
. Pede-se
(a) a carga por unidade de comprimento ,
(b) o campo elétrico para ,
(c) o campo elétrico para ,
(d) um esboço de .
Para resolver, vamos usar a definição de carga linear por integração da densidade e a lei de Gauss em simetria cilíndrica.
(a) a carga por unidade de comprimento
(b) o campo elétrico para
(c) o campo elétrico para
(d) um esboço de
Para resolver, vamos usar a definição de carga linear por integração da densidade e a lei de Gauss em simetria cilíndrica.
Passo 2
Cálculo de
. A carga por comprimento é
Fazendo a integral em
e a substituição
,
, obtemos
Passo 3
Campo interno
. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
.
Pela lei de Gauss,
Pela lei de Gauss,
onde
Logo
Passo 4
Campo externo
. Agora toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana, então
Passo 5
Esboço qualitativo de
:
- Para
: , então cresce linearmente a partir de zero. - Em
: , continuidade entre as regiões. - Para
: decaimento como .
O gráfico mostrasubindo quase linear até e depois caindo suavemente como hipérbole.
Resposta
(a)
(b) Para :
(b) Para
(c) Para
:
(d)
cresce quase linearmente desde zero, atinge
em
e em seguida decai como
.