Questão 2 ( 2,5 pontos) Considere um cilindro sólido infinito de raio R e densidade volumétrica de carga não-uniforme \delta(r)=\delta_{0} \exp \left(-\rho^{2} / R\right) em que \delta_{0} é a densidade no eixo do cilindro. Calcule (a) a carga elétrica por unidade de comprimento do cilindro e o campo elétrico produzido em (b) 0 \leq \rho \leq R e (c) \rho \geq R. (d) Faça um esboço do campo elétrico em função da distância radial. Considere d V=\rho d \rho d \theta d z.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro sólido infinito de raio R com densidade volumétrica de carga não-uniforme \delta(\rho)=\delta_{0}\exp\bigl(-\rho^{2}/R\bigr). Pede-se
(a) a carga por unidade de comprimento \lambda,
(b) o campo elétrico para 0\le\rho\le R,
(c) o campo elétrico para \rho\ge R,
(d) um esboço de E(\rho).
Para resolver, vamos usar a definição de carga linear por integração da densidade e a lei de Gauss em simetria cilíndrica.

Passo 2

Cálculo de \lambda. A carga por comprimento é
\lambda = \int_{A}\delta(\rho)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R}\delta_{0}e^{-\rho^{2}/R}\,\rho\,d\rho\,d\theta.
Fazendo a integral em \theta e a substituição u=\rho^{2}/R, d u=2\rho\,d\rho/R, obtemos
\lambda = 2\pi\delta_{0}\int_{0}^{R}\rho e^{-\rho^{2}/R}d\rho = 2\pi\delta_{0}\frac{R}{2}\int_{0}^{R}e^{-u}du = \pi\,\delta_{0}\,R\bigl(1 - e^{-R}\bigr).

Passo 3

Campo interno 0\le\rho\le R. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio \rho e comprimento L.
Pela lei de Gauss,
E(\rho)\,2\pi\,\rho\,L = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde
Q_{\text{int}} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\rho}\delta_{0}e^{-{ {\rho'}^{2} }/{R}}\;\rho'\,d\rho'd\theta = \pi\,\delta_{0}\,R\bigl(1 - e^{-\rho^{2}/R}\bigr)\,L.
Logo
E(\rho) = \frac{1}{2\pi\,\rho\,\varepsilon_{0}}\;\pi\,\delta_{0}\,R\bigl(1 - e^{-\rho^{2}/R}\bigr) = \frac{\delta_{0}\,R}{2\,\varepsilon_{0}\,\rho}\,\bigl(1 - e^{-\rho^{2}/R}\bigr).

Passo 4

Campo externo \rho\ge R. Agora toda a carga do cilindro está dentro da superfície gaussiana, então
E(\rho)\,2\pi\,\rho\,L = \frac{\lambda\,L}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(\rho) = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon_{0}\,\rho} = \frac{\delta_{0}\,R\bigl(1 - e^{-R}\bigr)}{2\,\varepsilon_{0}\,\rho}.

Passo 5

Esboço qualitativo de E(\rho):
  • Para \rho\to0: 1-e^{-\rho^{2}/R}\approx\rho^{2}/R, então E\approx(\delta_{0}\,\rho)/(2\varepsilon_{0}) cresce linearmente a partir de zero.
  • Em \rho=R: E(R)=(\delta_{0}/2\varepsilon_{0})(1-e^{-R}), continuidade entre as regiões.
  • Para \rho>R: decaimento como 1/\rho.
    O gráfico mostra E subindo quase linear até \rho\sim R e depois caindo suavemente como hipérbole.

Resposta

(a) \displaystyle \lambda = \pi\,\delta_{0}\,R\bigl(1 - e^{-R}\bigr).
(b) Para 0\le\rho\le R:
\displaystyle E(\rho) = \frac{\delta_{0}\,R}{2\,\varepsilon_{0}\,\rho}\,\bigl(1 - e^{-\rho^{2}/R}\bigr).
(c) Para \rho\ge R:
\displaystyle E(\rho) = \frac{\delta_{0}\,R\bigl(1 - e^{-R}\bigr)}{2\,\varepsilon_{0}\,\rho}.
(d) E(\rho) cresce quase linearmente desde zero, atinge \tfrac{\delta_{0}}{2\varepsilon_{0}}(1-e^{-R}) em \rho=R e em seguida decai como 1/\rho.

Exercícios relacionados