Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam e matrizes. Se e , então .
(b) Se o número de equações de um sistema linear homogêneo é menor que o número de incógnitas então o sistema tem solução não nula.
(c) Se é matriz , então possui infinitas soluções.
(d) Se é uma matriz e é , então não é invertível.
(e) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
20. Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.
Passo 1
O exercício tem duas partes. Primeiro, precisamos decidir se cada afirmação sobre matrizes e sistemas lineares é verdadeira ou falsa, provando as verdadeiras e dando contra-exemplo às falsas. Isso envolve propriedades de comutação de matrizes, posto, sistemas homogêneos, inversibilidade e desigualdade entre número de equações e incógnitas. Na segunda parte, há um sistema obtido por forma escalonada da matriz aumentada, com pivôs que dependem de alpha; devemos classificar para quais valores de alpha o sistema é impossível, indeterminado ou tem solução única, e descrever o conjunto solução quando existir.
Passo 2
(a) Queremos mostrar que se BC=CB e AC=CA, então (AB)C=C(AB).
Usando associatividade e as hipóteses:
(AB)C = A(BC) = A(CB) (pois BC=CB)
A(CB) = (AC)B = (CA)B (pois AC=CA)
(CA)B = C(AB)
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
(b) Num sistema homogêneo com , temos posto , logo a nulidade
isto é, existe solução não nula. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 4
(c) Se é , então em princípio pode ser até . Se , o sistema tem apenas a solução trivial. Por exemplo,
tem posto e só solução . Logo a afirmação de que há sempre infinitas soluções é falsa.
Passo 5
(d) Se é e é , então
mas . Logo e não é invertível. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
(e) Se são e é invertível, então . Como , segue . Assim é invertível. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
Para a parte do sistema, a forma escalonada (com incógnitas (x1,x2,x3,x4)) é
Os pivôs aparecem em coeficientes (alpha-1)alpha para x2, alpha(alpha^2-1)=alpha(alpha-1)(alpha+1) para x3, (alpha+1)alpha para x4.
Para ter solução única é preciso que todos esses pivôs sejam não nulos, ou seja
Se alpha=0, as linhas 2,3,4 ficam todas 0=1 ou 0=0 e na linha 2 aparece 0=alpha+1=1, impossível. Logo nenhuma solução.
Passo 10
Se alpha=1, a linha 2 é x3=2, a 3 é 0=0, e a 4 é 2x4=0Rightarrow x4=0. Da linha 1 vem x1+x2=1. Há então um grau de liberdade (por exemplo x2=t), dando infinitas soluções:
x1=1-t, x2=t, x3=2, x4=0, tinR
Passo 11
Se alpha=-1, a linha 3 fica 0=alpha-1=-2, ou seja 0=-2, impossível. Logo nenhuma solução.