Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) Sejam A, B e C matrizes. Se B C=C B e A C=C A, então (A B) C=C(A B).
(b) Se o número de equações de um sistema linear homogêneo é menor que o número de incógnitas então o sistema tem solução não nula.
(c) Se A é matriz 5 times 4, então A X=0 possui infinitas soluções.
(d) Se A é uma matriz 4 times 3 e B é 3 times 4, então A B não é invertível.
(e) Sejam A e B matrizes n times n tais que B A é inversível. Então, A é inversível.
20. Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema é
(ccccc 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & (alpha-1) alpha & alpha & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & alpha-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1) alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Determine, se existirem, os valores de alpha in R para os quais o sistema tenha uma única solução, infinitas soluções e nenhuma solução. Nos casos em que o sistema tiver solução, determine o conjunto solução.

Passo 1

O exercício tem duas partes. Primeiro, precisamos decidir se cada afirmação sobre matrizes e sistemas lineares é verdadeira ou falsa, provando as verdadeiras e dando contra-exemplo às falsas. Isso envolve propriedades de comutação de matrizes, posto, sistemas homogêneos, inversibilidade e desigualdade entre número de equações e incógnitas. Na segunda parte, há um sistema obtido por forma escalonada da matriz aumentada, com pivôs que dependem de alpha; devemos classificar para quais valores de alpha o sistema é impossível, indeterminado ou tem solução única, e descrever o conjunto solução quando existir.

Passo 2

(a) Queremos mostrar que se BC=CB e AC=CA, então (AB)C=C(AB).
Usando associatividade e as hipóteses:
(AB)C = A(BC) = A(CB) (pois BC=CB)
A(CB) = (AC)B = (CA)B (pois AC=CA)
(CA)B = C(AB)
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(b) Num sistema homogêneo com , temos posto , logo a nulidade
isto é, existe solução não nula. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) Se é , então em princípio pode ser até . Se , o sistema tem apenas a solução trivial. Por exemplo,
tem posto e só solução . Logo a afirmação de que há sempre infinitas soluções é falsa.

Passo 5

(d) Se é e é , então
mas . Logo e não é invertível. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

(e) Se são e é invertível, então . Como , segue . Assim é invertível. A afirmação é verdadeira.

Passo 7

Para a parte do sistema, a forma escalonada (com incógnitas (x1,x2,x3,x4)) é
1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & (alpha-1)alpha & alpha & 0 & alpha+1 0 & 0 & alpha(alpha^2-1) & 0 & alpha-1 0 & 0 & 0 & (alpha+1)alpha & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Os pivôs aparecem em coeficientes
(alpha-1)alpha para x2,
alpha(alpha^2-1)=alpha(alpha-1)(alpha+1) para x3,
(alpha+1)alpha para x4.
Para ter solução única é preciso que todos esses pivôs sejam não nulos, ou seja
alphaneq0, alpha-1neq0, alpha+1neq0 Long<=ftrightarrow alphanotin -1,0,1
Se algum pivô some, cairemos em caso de sistema indeterminado (se não houver contradição) ou impossível (se houver linha 0=não-zeroã).

Passo 8

Caso alphanotin-1,0,1, há pivô em cada variável e solução única por escalonamento reverso:
(alpha+1)alpha,x4 = 0Longrightarrow x4=0,
alpha(alpha-1)(alpha+1),x3 = alpha-1 Longrightarrow x3=alpha-1alpha(alpha-1)(alpha+1) =1alpha(alpha+1),
(alpha-1)alpha,x2 + alpha,x3 = alpha+1 Longrightarrow x2 = alpha+1 - alpha,x3(alpha-1)alpha = alpha+2(alpha+1)(alpha-1),
x1 + x2 + x4 =1 Longrightarrow x1 =1 - x2 = alpha^2-alpha-3alpha^2-1

Passo 9

Se alpha=0, as linhas 2,3,4 ficam todas 0=1 ou 0=0 e na linha 2 aparece 0=alpha+1=1, impossível. Logo nenhuma solução.

Passo 10

Se alpha=1, a linha 2 é x3=2, a 3 é 0=0, e a 4 é 2x4=0Rightarrow x4=0. Da linha 1 vem x1+x2=1. Há então um grau de liberdade (por exemplo x2=t), dando infinitas soluções:
x1=1-t, x2=t, x3=2, x4=0, tinR

Passo 11

Se alpha=-1, a linha 3 fica 0=alpha-1=-2, ou seja 0=-2, impossível. Logo nenhuma solução.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa; contra-exemplo A=l(I4;0r).
(d) Verdadeira.
(e) Verdadeira.
Para o sistema escalonado:
  • Única solução se alphanotin-1,0,1, sendo
x1=alpha^2-alpha-3alpha^2-1, x2=alpha+2(alpha+1)(alpha-1), x3=1alpha(alpha+1), x4=0
  • Infinitas soluções para alpha=1, com
    ;x1=1-t,;x2=t,;x3=2,;x4=0,;tinR
  • Nenhuma solução para alpha=0 ou alpha=-1.

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